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1、第三章 圆3圆周角和圆心角的关系（一）福鼎八中 张福利一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在本节课之前已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1 了解圆周角的概念。2理解圆周
2、角定理的证明。过程与方法1经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。2体会分类讨论、特殊到一般、化归等数学思想方法。情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。教学重点：圆周角概念及圆周角定理。教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。三、教学过程分析本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、课堂练习、课堂小结、布置作业第一环节 创设问题情境，引入新课通过身边人身边事引发学生对所学内容的思考：本校校长在团校教育活动中绘制的一个扇形统计图展示，引起
3、学生对圆当中的圆心角概念的再认识，并回顾了统计图的内容做呼应衔接，介绍圆心角的有关知识，当圆心角的顶点发生变化时引发学生的认知冲突。活动内容：通过一个问题情境，引入课题（利用信息技术呈现踢球过程）同学们，大家好！在我们生活中处处都有数学，下面我们就来看一看足球场上的数学。情境：在射门游戏中，射门的难易程度跟球员所处的位置B对球门AC的张角的大小有关。现在过球门AC画一个圆，一个同学分别在圆上B、D、E三个位置射门，你认为站在那个位置射门最有利？1、学生观察思考。2、请几个有不同看法的学生分别回答并说明理由。学生的回答可能有两种：一种认为B、D、E三个位置射门效果相同，因为B、D、E三点对球门A
4、C的张角大小相等；另一种会认为在D点射门最有利，由于受视觉误差的影响他们会认为D点对球门AC的张角最大。3、到底哪种观点正确呢？下面我们就带着这个问题进入今天的学习，学习了今天的新知识我们就一定能解决这个问题了。 活动目的：通过问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念，并为新的学习埋下伏笔。.OAC第二环节 新知学习（一）圆周角定义的学习活动内容：1、回顾圆心角的定义（多媒体动态展示图形）学生观察图中的AOC回答（1）什么是圆心角？（顶点在圆心的角叫做圆心角）（2）圆心角有什么特征：（顶点在圆心，两边分别能与圆交于一点）2、类比圆心角，学习圆周角的定义ABC 学生观察观察
5、图中的ABC回答（1）从角的顶点和两边与圆的位置关系看，ABC与AOC有什么不同点，有什么相同点？不同点：AOC的顶点在圆心，ABC的顶点在圆上，相同点：角的两边分别能与圆有一个交点。（2） 学生归纳圆周角的定义。顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角。（信息技术演示：把圆心角的顶点拉伸，观察角顶点变化从而理解概念） 3、判断下列各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。B4、判断正误圆周角的顶点一定在圆上（ ）C顶点在圆上的角一定是圆周角（ ）FA圆周角的两边都与圆相交（ ）D两边都与圆相交的角是圆周角（ ）E5、下列图形中有几个圆周角学生通过完成判断明确圆周角的两大特征：（1）
6、角的顶点在圆上；（2）两边分别与圆相交。活动目的：学生通过主动观察类比，经历探索圆周角定义的过程，形成自己对圆周角定义的理解。（二）圆周角定理的学习ACBDE1、出示第一个环节中的射门游戏图形，并从实际问题中提炼出数学模型观察图形，B、D、E三点对AC的张角分别是ABC、ADC、AEC，这三个角有什么特征？（都是圆周角，且都是弧AC所对的圆周角）它们大小有什么关系？（学生做出猜测）为什么？（为了解决这个问题，我们很有必要先来研究一下一条弧所对的圆周角和圆心角的关系。请大家拿出探究活动纸，我们先进行第一个探究，探究一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系）探究活动一一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关
7、系。（1） 在图中的圆上任意截取一条劣弧AC（2） 画出弧AC所对的圆心角AOC和圆周角ABC（3） 要求画出的圆周角与圆心角有不同的位置关系，尽量不重不漏，每个图画一种位置关系（4） 结论：一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系总共有_种，分别是_。学生展示汇报探究成果：画出图形，并说明分类的依据。教师几何画板演示三种不同的位置关系，并加以归纳。（利用几何画板动态演示）3、下面我们就根据圆周角与圆心角的三种不同的位置关系，具体探究一下一条弧所对的圆周角与圆心角的大小关系探究活动一（1）学生做出猜想（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（2）几何画板测量（注意两个变量的控制：改变圆周角与
8、圆心角的位置关系，改变弧AC的长度）得出初步结论（3）严格的推理论证BAOCABCOBACO学生以小组交流讨论的方式，通过推理论证，验证结论的正确性。教师巡视指导。展示汇报：选三个小组代表，分别展示三种不同位置关系的推理论证。（学生口述，课件展示证明过程），（也可幻灯投影展示学生解答过程）通过推理论证（用到分类讨论、特殊到一般、化归等数学思想方法），我们证明了猜想的正确性，由此得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。再次回到射门游戏，在B、C、D三个位置射门，哪个位置最有利？（三点射门效果相同）为什么？（ABC、ADC、AEC的大小相同）为什么？三个角所对的弧都是弧AC，而弧AC所对
9、的圆心角只有一个。因此我们可以得到：同弧或等弧所对的圆周角相等。 活动目的：学生通过画图，渗透分类讨论的思想，由特殊到一般解决问题的策略。由学生的画图结果我们得到三种图形。在这三种情况下，提问ABC与AOC的大小有什么关系？通过这个问题的提出，引导学生由特殊到一般解决问题。再由推理论证得到结论。当学生证明了图1的情形后，让学生思考：图2、图3两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？实际上，实现转化的方法是连接BO并延长。教学过程中要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及化归、分类、特殊到一般等数学思想方法。第三环节 课堂练习（以小组竞赛的形式展开，分组抢水果暗题）学数学是为了用数学，下面我们一起
10、来解决几个问题。ABCO活动内容：（课件展示练习题）1如图，在O中，BOC=50，则BAC= 。变化题1：如图，在O中，BAC=40，则OBC= 变化题2：如图，在O中，BAC=45，则图中有哪两个三角形相似？2如图，OA，OB，OC都是O的半径， AOB=2 BOC， ACB与 BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO第2题图 ABCDO第3题图3如图，A，B，C，D是O上的四点，且BCD=100 ，求BOD（弧BCD所对的圆心角）和BAD的大小。4思考回答：一些大剧院的观众席上，同排的椅子往往不是一字排开，而是成弧形排列，你们知道这是为什么吗？活动目的：通过练习目的是使学生熟练地掌握圆周角与圆心角的关系。通过图形和条件的变化，让学生了解要找出圆周角与圆心角的关系，就必须找出它们所对的同一条弧。第四环节 课堂小结请同学们谈谈本节课你的收获（到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几种?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?本节课我们用到了哪些数学思想方法？）第五环节 布置作业1、课本习题：2、32、课时作业题
