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1、微分中值定理的推广及应用 毕业论文 微分中值定理的推广及应用 本 科 毕 业 设 计（论文） 微分中值定理的推广及应用 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application 学 院 （系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 101108072 指 导 教 师（职称）： 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 2012.04 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology 1 微分中值定理的推广及应用 微分中值定理的推广及应用 数理学院 摘 要
2、本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用. 关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application Mathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the g
3、eneral license based on the method, gives a new proof method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss
4、the equation existence of root and so on several aspects of the application. Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermat's theorem 2 微分中值定理的推广及应用 目 录 0 绪论1 1 微分中值定理及相关的概念1 2 微分中值定理普遍的证明方法2 2.1 费马定理2 2.2 罗尔中值定理2 2.3 拉格朗日中值定理3 2.4 柯西中值定理4 3 中值定理的推广4 3.1 关于三个中值定理新的证明方法
5、4 3.2 微分中值定理的推广6 3.3 微分中值定理的弱逆定理 10 4 微分中值定理的应用11 4.1 利用微分中值定理证明等式11 4.2 利用微分中值定理证明不等式14 4.3 讨论方程根的存在性 15 结束语18 参考文献18 致谢18 3 微分中值定理的推广及应用 0绪论 微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；
6、曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容. 1 微分中值定理及相关概念 所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念. 定义1 (最小值或最大值) 设f(x)在I上有定义,若存在x0?I使任意x?I, f(x0)?f(x)(f(x0)?f(x),则f(x0)称为f(x)的最小值(最大值).x0为最小值点(最大值点). 定义2
7、(极小值或极大值) 设f(x)在任意x?I上有定义,若存在x0?I,?0,任意 x?(x0?,x0?),都有f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0),则f(x0)称为f(x)的一个极小值(极大值),x0称为极小值点(极大值点). 定义3 (极限的局部保号性) 若limf(x)?limg(x),则存在?0,任意x?(x0?, x?x0x?x0 x0?),使得f(x)?g(x). 定义4 (函数单调性) 函数f(x)在定义域内,当x1?x2时,有 f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2) 则称f(x)单调递增(严格单调递增).当x1?x2时,有 f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x
8、2), 则称f(x)单调递减(严格单调递减). 定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸). 定义6(凹性) 若y?f(x)的一阶导数f?(x)在?a,b?上单调递增(或递减),则称f(x) 在?a,b?是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹). 4 微分中值定理的推广及应用 2 微分中值定理普遍的证明方法 2.1 费马定理 定理1 设f(x)在区间K有定义.若x0是函数f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则f?(x)?0. 费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定理具有几何意
9、义:对曲线y?f(x)上,若有一点(x0,f(x0)存在切线,且x0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴 . 1 证明 x0为f(x)的极值点.设x0为极小值点,则存在?0,任意x?(x0?,x0?),有f(x0)?f(x), 若x?x0,则 f(x)?f(x0)?0; x?x0 若x?x0,则 f(x)?f(x0)?0; x?x0 取极限lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)lim与分别为T、S,由于f(x)在x0处可导,则 ?x?x0x?x0x?x0 limT=S=x?x0f(x)?f(x0) x?x0 由极限的局部保号性有T?0, S?0.故 T=S=0.所以有
10、 即f?(x0)?0. 2.2 罗尔中值定理 5 x?x0limf(x)?f(x0)?0,x?x0 微分中值定理的推广及应用 定理2 设f(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续; (2) 在开区间?a,b?内可导; (3) f(a)?f(b),则至少存在一点?(a,b)使得 f?(?)?0. 罗尔定理的几何意义:若f(x)满足罗尔定理的条件,则在曲线y?f(x)上至少存在一点P(?,f(?),使得点P处的切线平行于x轴(如图), 其中A(a,f(a),B(b,f(b). 证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值M,最小值m. 若M?m则对任意x?a,b?有f(x)?M?m,即f(x)为常
11、函数,所以f?(x)?0. 若M?m,由于f(a)?f(b).M与m不同时为区间的端点,不妨设M?f(a)?f(b),所以M必为f(x)的极大值.设f(?)?M,则有?(a,b),且f(x)在?a,b?内可导,根据费马定理可知 f?(?)?0. 证毕. 2.3 拉格朗日中值定理 定理3 若函数f(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续;(2) 在开区间?a,b?内可导;则至少存在一点?(a,b)使得 f?(?)?f(b)?f(a). b?a 证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数. f(b)?f(a)?F(x)?f(x)?f(a)?(x?a)?. b?a? 证明 作辅助函数 f(b)?f(a
12、)?F(x)?f(x)?f(a)?(x?a)?, b?a? 显然,F(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导,且f(a)?f(b)?0,由罗尔定理可知,存在一点?(a,b) 使得F?(?)?0 即 6 微分中值定理的推广及应用 f?(?)?f(b)?f(a). b?a 推论 设f(x)、g(x)都在区间K上可导,且f?(x)?g?(x),则f(x)?g(x)?c 2.4 柯西中值定理 定理4 设函数f(x)、g(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续;(2) 在开区间?a,b?内可导,且g?(x)?0，则至少存在一点?(a,b)使得 f?(?)f(b)?f(a)?. g?(?)g(b
13、)?g(a) 证明 由定理条件可知g(b)?g(a),则任意?(a,b)都有g?(?)?0,因此,只需证 f?(?)?g(b)?g(a)?g?(?)?f(b)?f(a)?0, 为此,构造函数 F(x)?f(x)?g(b)?g(a)?g(x)?f(b)?f(a)?,x?a,b?, 显然,F(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且F(a)?F(b),根据罗尔定理,存在?(a,b),使得 F?(?)?0, 即 所以 f?(?)f(b)?f(a)?. g?(?)g(b)?g(a)f?(?)?g(b)?g(a)?g?(?)?f(b)?f(a)?0, 3 中值定理的推广 微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领
