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1、2011年2月初等数论题库第二章 不定方程解答题1、将一根30米长的钢料截割成规格分别为2米、3米和8米的较短的料，每种规格的料至少有一根，问怎样截法才能使原来的钢料恰好用完？解：设2米、3米、8米的料分别截x、y、z 根，根据题意有 又x、y、z的最小值为1，所以由此可知，z的可能取值为1、2、3（1） 当z=1时，原方程化为：可知是方程的一个解则该方程的全体解为、，又因为所以只能取-1、-2、0，解得 （2） 当z=2时，原方程化为 ：可知、是方程的一个解则该方程的全体解为、，又因为、所以只能取-1、0，解得 （3） 当z=3时原方程化为可知此方程无正整数解综上所述原方程共有五组解1245
2、846242212112、求弦长小于30的所有勾股数。解：由勾股方程的基本解形式知：，,，且、一奇一偶，所以可确定、的值、时 =3，=4，=53、2时 =5，=12，=134、1时 =15，=18，=174、3时 =7，=24，=255、2时 =21，=20，=29以上是五组基本解由基本解，可以得到四组不互质的解2681039121541216205152025由基本解，可以得到一组不互质的解2102426所以弦长小于30的够股数共有十组345681091215121620152025512131024261581772425212029 3.鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百
3、钱买百鸡，问鸡翁母雏几何？ 解： 分别以代表鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，则依题意有： 我们要求的是这个不定方程组的非负整数解，所以消去得：，它的全部非负整数解为： 所以本题解为：见下表0 4 8 122518114758188844.甲班有学生人，乙班有学生人，现有支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？解: 设甲、乙班的学生每人分别得支铅笔，则， 解这个不定方程得5.某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？解： 设需枚分，枚分恰好支付分，于是. 由于，所以，并且由上式知因为，所以，从而，的非负整数解为所以，共有
4、种不同的支付方式6. 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?解 设买甲物斤，乙物斤，丙物斤，则 消去,得 （1） 显然是方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是 ， tZ因为，所以即可以取值相应的的值是计算题7求解不定方程组；解：消去得，解得，从而得到不定方程的解8.求方程的正整数解。 解：，代入原方程可得，于是，其中，由此得，反之，将上式代入原方程知它们是原方程的正整数解。9. 求的一切解。解：，故方程有解。考虑方程，即及，则分别得到，消去，得到 ，10.求不定方程解：原方程等价于 依次解方程 分别得到 （1） (2) 将（1）式与（
5、2）式中的消去，得到 11求不定方程的解。解 依次解方程 ， ， 由得到 ， 由得到 ， 将式与式中的t消去，得到 ， 12. 将写成三个分数之和，它们的分母分别是。解：设，则依次解方程得到 消去，得令，得到故13.求解不定方程. 因为，所以有解 考察， 所以是特解 所以，原方程的解是 . 14.求不定方程的解。解：依次解方程得到： 15. 求。解 由给定的方程得其中，应该也是整数解，故得一新的不定方程 (1)又仿前令其中，即最后得到 （2）然后(2)的一切解是而（1）的一切解是 16.求不定方程的整数解.解： 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解, 利用求二元一次不定方程的方法,因为, ,
6、所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.17.解不定方程：解：依次解方程 ，分别得到 ，消去，得到。18.把写成分母两两互素的三个既约分数之和。解： 所以可设即 令则上式变为易解得一组特解为其全部解为易得上式一组特解为原不定方程通解为 其中为满足题设条件，需此时取零19.解三元一次不定方程： 解：去掉公因子3，化简为 用代入法 由 式解得 由式解得 20.求不定方程的正整数解。 解：所给方程可写为 由 得1 可取1,2,3 应取18,9,6即解知得 21. 求方程的所有正整数解解：分别解得，消去得，由此得原方程的所有正整数解为.22.求方程的整数解。解：23求
7、方程的所有正整数解。解：分别解得消去得故原方程的全部正整数解为：24.求的解。解：引入变量 而的通解为的通解为所以原不定方程的通解为25.求的一切解。解：（9,24）=3，（3，-5）=1，故方程有解，考虑方程，其中，消去可得，。26. 求不定方程的解。解： ，所以方程有解。由辗转相除法（或直接观察），可知是的解，所以是原方程的一个解。所求方程的解27.求不定方程的解。解：原方程等价于解方程组：分别得到将消去，得到28的解因为为的特解，所以（其中）为该方程的解29.将写成三个分数之和，它们的分母分别是2，5，7（其中）则等价于，有（1）解的（其中）即解得（其中），所以的解为（其中），令得所以3
8、0.解不定方程解：因为，所以可以化简为解得：所以的解为：所以，的一切解为且31. 求不定方程的整数解.解: 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.32.解不定方程解：因为，所以有解，化简得考虑有，所以原方程的特解为，因此所求的解是（其中）.33. 求不定方程的整数解.解: 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解利用求二元一次不定方程的方法,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解
9、,这里是任意整数34.求不定方程的所有正整数解。解：原方程等价于解方程组：分别得到将消去，得到由此得到原方程的全部正整数解为35.求解不定方程组： 解答：消去得，解得于是得不定方程得,36.将写成三个分数之和，它们的分母分别为 依次解方程即 ， 得到 式（1）与式（2）消去得到令，得到因此37.求不定方程的解。解：，所以方程有解。由辗转相除法可知，是的解。所以是原方程的一个解。故所求方程的解是38.解不定方程解析：.39.解不定方程解：由定理3依次解方程和分别得到解和将上式消去t得40.解不定方程解： 方程有解 有观察法得，是一组特解全部解为：41.求的不定方程的全部解.解：显然解是为求非显然
10、解，由式（9）和式（10）知；先要把65表为65=,其中满足式（7），可取1，5，13，当=1时。即相应的解为即相应的解为及。当时，即相应的解为及这就求出了全部解。本原解仅有63，16，65；33，56，65；及16，63，65；56，33，65.42.求的整数解解：将方程变形得因为是整数，所以应是的倍数由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为，为整数解法2 :先考察，通过观察易得，可取从而，为整数证明题43.证明：二元一次不定方程的非负整数解的个数为或。证明： 二元一次不定方程的一切整数解为，于是由得，但区间的长度是，故此区间内的整数个数为或。 44.若543,9，=+=ttkn或，证明方程 无整数解 证明：对任意的整数，记 ， 则， 其中 ， 则 则 无整数解45.证明：不存在x,y,使得 证明：对任意整数x,y 记 ，0，1，4，0，1，则，=0,1,2,4,5 故无解电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究第 17 页 共 18 页
