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1、浅浅 谈谈 地地 震震 频频 谱谱 分分 析析 在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。 频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。 一一 傅里叶级数傅里叶级数 1、设( )f x是以2为周期的函数，且在, 或0,2 上可积，
2、则( )f x的傅里叶系数 为： 2 0 2 0 11 ( )cos( )cos(0,1,2) 11 ( )sin( )sin(1,2) n n af xnxdxf xnxdxn bf xnxdxf xnxdxn 2、以( )f x的傅里叶系数为系数的三角级数表示式 0 1 1 (cossin) 2 nn n aanxbnx 称为函数( )f x的傅里叶级数，表示为 0 1 1 ( ) (cossin) 2 nn n f xaanxbnx 3、设( )f x是以2l为周期的函数，且在, l l上可积，则以 1 ( )cos(0,1,2) 1 ( )sin(1,2) l n l l n l n
3、af xxdxn ll n bf xxdxn ll 为系数的三角级数 0 1 1 (cossin) 2 nn n nn aaxbx ll 称为函数( )f x的傅里叶级数，表示为 0 1 1 ( ) (cossin) 2 nn n nn f xaaxbx ll 二二 狄里赫利条件狄里赫利条件 并非所有复杂信号都可以进行傅里叶变换，能够进行傅里叶变换的信号必须满足狄里 赫利条件。狄里赫利条件内容为： 设函数( )f x在, 区间满足条件： （1）除有限个第一类间断点外都是连续的。 （2）只有有限个极值点。 则( )f x的傅里叶级数在, 上收敛，且有 0000 1 ( ),( ) 11 ( )
4、(cossin) (0)(0),( ) 22 1 (0)(0), 2 nn n f x xf x f xaanxbnxf xf xxf x ffx 是的连续点 是的第一类间断点 其中 0 0 (0)lim( ) xx f xf x ， 0 0 (0)lim( ) xx f xf x 周期与非周期函数傅里叶级数 一 般 函 数 以2为周期的函数( )f x 0 1 1 ( ) (cossin) 2 nn n f xaanxbnx 1 ( )cos(0,1,2) 1 ( )sin(1,2) n n af xnxdxn bf xnxdxn 以2l为周期的函数( )f x 0 1 1 ( ) (cos
5、sin) 2 nn n nn f xaaxbx ll 1 ( )cos(0,1,2) 1 ( )sin(1,2) l n l l n l n af xxdxn ll n bf xxdxn ll 偶 函 数 以2为周期，且( )()f xfx 0 1 1 ( ) cos 2 n n f xaanx 0 2 ( )cos(0,1,2) 0(1,2) n n af xnxdxn bn 以2l为周期，且( )()f xfx 0 1 1 ( ) cos 2 n n n f xaax l 0 2 ( )cos(0,1,2) 0(1,2) l n n n af xxdxn ll bn 周 期 函 数 傅 里
6、 叶 级 数 奇 函 数 以2为周期，且 ( )()f xfx 1 ( ) sin n n f xbnx 以2l为周期，且 ( )()f xfx 1 ( ) sin n n n f xbx l 三三 傅里叶分析与信号频谱傅里叶分析与信号频谱 1、很多情况下，频域比时域有更强的物理意义：如光线的颜色由频率决定，声音音调的高 低由频率决定。 2、在地震系统中，周期为T的信号( )()(0, 1, 2)x tx xnTn 展为三角形式傅里 叶级数为： 000 1 cos()sin() nn n aantbnt （1） 0 0(0,1,2) 2 ( )sin(1,2) n n an bf xnxdxn
7、 0 0(0,1,2) 2 ( )sin(1,2) n l n an n bf xxdxn ll 偶 延 拓 ( )f x为0, 上的非周期函数，令 ( )0 ( ) ()0 f xx F x fxx 则( )F x除0x 外在, 上为偶函数 0 1 1 ( ) cos 2 n n f xaanx 0 2 ( )cos(0,1,2) 0(1,2) n n af xnxdxn bn ( )f x为 0, l上的非周期函数，令 ( )0 ( ) ()0 f xxl F x fxlx 则( )F x除0x 外在 , l l上为偶函数 0 1 1 ( ) cos 2 n n n f xaax l 0
8、2 ( )cos(0,1,2) 0(1,2) l n n n af xxdxn ll bn 非 周 期 函 数 傅 里 叶 级 数 奇 延 拓 ( )f x为0, 上的非周期函数，令 ( )0 ( ) ()0 f xx F x fxx 则( )F x除0x 外在, 上为奇函数 1 ( ) sin n n f xbnx 0 0(0,1,2) 2 ( )sin(1,2) n n an bf xnxdxn ( )f x为0, l上的非周期函数，令 ( )0 ( ) ()0 f xxl F x fxlx 则( )F x除0x 外在 , l l上为奇函数 1 ( ) sin n n n f xbx l
9、0 0(0,1,2) 2 ( )sin(1,2) n l n an n bf xxdxn ll 2 0 2 2 0 2 2 0 2 1 ( ) 2 ( )cos() 2 ( )sin() n n ax t dt T ax tnt dt T bx tnt dt T 式中 0 2 T ：基波频率 0 n：n次谐波频率 0 a：信号的直流分量 n a：余弦分量的振幅 n b：正弦分量的分量 注：这种类型与前表中一般函数以2l为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式， 将 2 T l 带入原式得到（1）式 3、复数形式的傅里叶级数 由公式 1 sin()() 2 1 cos()() 2 j tj
10、t j tj t tee j tee 得 1 sin()() 2 1 cos()() 2 jn tjn t jn tjn t n tee j n tee 0000 00 00 000 1 0 1 0 1 0 22 1 0 ( )cos()sin() 11 ()() 22 ()() 2222 ()() 2222 nn n jntjntjntjnt nn n jntjnt nnnn n jntjnt nnnn n n x taantbnt aaeebee j abab aee jj ab jab j aee jj ab a 00 1 22 jntjnt nnn n jab j ee （2） 用新系
11、数表示 00 1 () 2 1 () 2 nnn nnn ca cajb cajb 则（2）式表示为 00 0 0 11 ( ) jntjnt nn nn jnt n x tcc ec e c e （3） 注：在实际中，频率只能取正，上式中n取负值， 0 n为“负频率”是由复数引起的，从实 数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数，是由用复数表示正、余弦引起的。 5、上式中， n c为傅里叶级数的系数，对（3）式两边乘以 0 jnt e ，并从 2 T 到 2 T 积分 0000 () 222 222 ( ) TTT jmtjntjmtj n mt TTTnn x t edtc eedtced
12、t （4） 正交函数系 0 (0, 1, 2) jnt en 对不同的n和m有 002 2 ()0 T jntjmt Te edt 所以，只有当n=m时， 0 () 2 2 T j n mt Te dtT ，则（4）式变为 02 2 ( ) T jmt Tn x t edtcT 所以 02 2 1 ( ) T jmt Tmn ccx t edt T （5） （5）式是计算复数形式的傅里叶级数系数公式。 6、上述傅里叶展开是一个周期信号( )x t在, 2 2 T T 区间内的展开，实际任意一个周期 00 ,t tT上可以把( )x t展开成傅里叶级数形式 0 00 ( ) , jnt n n x tc ett tT 式中： 0 2 T ， 0 0 0 1 ( ) tT jnt n t cx t edt T 四四 离散频谱离散频谱 1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为 00 00 sin()cos() 2 cos()sin() 2 ntnt ntnt 所以它可以单独表示成不同相位角的 0 cos()nt或 0 sin()nt的级数，表示为 00 1 ( )sin() nn n x tAAnt （6） 或
