梅氏定理

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1、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。1定理证明首先给出完整的定理内容：当直线交 三边所在直线于点 时，以及逆定理：在 三边所在直线上有三点，且，那么 三点共线。注意：以上定理严格来说应该用有向线段形式，且乘积为-1；另外， 三点中有偶数个点在线段上时，才有梅氏定理，否则

2、为塞瓦定理.证明一过点A作AGDF交BC的延长线于点G.则证毕证明二过点C作CPDF交AB于P，则 BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF两式相乘得(AF：FB)(BD：DC)(CE：EA)=(AF：FB)(FB：PF)(PF：AF)=1证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。AF：FB =SADF：SBDF（1），BD：DC=SBDF：SCDF（2），CE：EA=SCDE：SADE=SFEC：SFEA=（SCDE+SFEC）：（SADE+SFEA）=SCDF：SADF （3）（1）（2）（3）得= 证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA，BB，CC，

3、如图：充分性证明：ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。连接DF交CA于E，则由充分性可得，(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1又 有CE/EA=CE/EA，两点重合。所以 共线推论 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1即图

4、中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。该形式的梅涅劳斯定理也很实用。证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合)梅涅劳斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么12数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项

5、基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。1塞瓦定理 塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。1证法（）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：ADC被直线BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1ABD被直线COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1*得：(DB/BC)(CE/EA)(AO/OD)

6、(BC/CD)(AF/FB)(DO/OA)=1(DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=1（）也可以利用面积关系证明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB ，AF/FB=SAOC/SBOC 得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=12证明定理利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点:设ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*cotBAC)/(CD*cotABC

7、)*(AE*cotABC)/(AE*cotACB)*(BF*cotACB)/(BF*cotBAC)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。三角形三条中线交于一点（重心）:如右图：已知，D、E分别为ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长 塞瓦定理证明三条中线交于一点交AB于F求证：AF=FB证明：BD=DC，CE=EABD/DC=1，CE/EA=1由塞瓦定理得(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1AF/FB=1 AF=FB ，CF为AB边上的中线三角形三条中线交于一点（重心）用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在

8、ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是=-1）3塞瓦定理推论1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)(CD/DE)(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周

9、角关系易证。4数学意义使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质1定理提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparc

10、hus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质2定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。3证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE.则ABEACD所以 BE/CD=AB/

11、AC,即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD,所以ABCAED.BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+EDBD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (ab)(cd) + (ad)(bc) = (ac)(bd) ，两边取模，运用三

12、角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 两式相加，得(

13、AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACBD=ABCD+ADBC证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。+得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即ACBD=ABCD+

14、ADBC四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)4推论1.任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆5推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD6运用要点1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。2.四点不限于同一平面。欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则ADBC+ABCD=ACBD梯形蝴蝶定理平面几何中的重要定理，是相似关系的衍生，由于该定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。1公式梯形蝴蝶定理 如图，在梯形中，存在以下关系：(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2S