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1、小学数学奥数小学数学奥数 1-6 年级培优讲座、年级培优讲座、 习题集、与答案完整版习题集、与答案完整版 计数问题排列组合讲义计数问题排列组合讲义 1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：分析：从 5 个元素中取 3 个的排列：P（5、3）=543=60 2、从数字 0、1、2、3、4、5 中任意挑选 5 个组成能被 5 除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 分析：分析：个位数字是 0：P（5、4）=120；个位数字是 5：P（5、4）P（4、3）=12024=96，（扣
2、除 0 在首位的排列）合计 12096 =216 另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 3、用 2、4、5、7 这 4 个不同数字可以组成 24 个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么 7254 是第多少个数？ 分析：分析：由已知得每个数字开头的各有 244=6 个，从小到大排列 7 开头的从第 631=19 个开始，易知第 19 个是 7245，第 20 个 7 254。 4、有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24 个这样的四位数是多少？ 分析：分析：首位是 1：剩下 3 个数的和是 1
3、1 有以下几种情况：236=11，共有 P（3、3）=6 个；245=11，共有 P（3、3）=6 个； 首位是 2：剩下 3 个数的和是 10 有以下几种情况：136=10，共有 P（3、3）=6 个；145=10，共有 P（3、3）=6 个；以上正好 24 个，最大的易知是 2631。 5、用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如 1023、2341 等，求全体这样的四位数之和。 分析：分析：这样的四位数共有 P（4、1）P（4、3）=96 个 1、2、3、4 在首位各有 964=24 次，和为（1234）100024=240000； 1、2、3、4 在百
4、位各有 2443=18 次，和为（1234）10018=18000； 1、2、3、4 在十位各有 2443=18 次，和为（1234）1018=1800； 1、2、3、4 在个位各有 2443=18 次，和为（1234）118=180； 总和为 240000180001800180=259980 6、计算机上编程序打印出前 10000 个正整数：1、2、3、10000 时，不幸打印机有毛病，每次打印数字 3 时，它都打印出 x， 问其中被错误打印的共有多少个数？ 分析：分析：共有 10000 个数，其中不含数字 3 的有： 五位数 1 个，四位数共 8999=5832 个，三位数共 899=6
5、48 个，二位数共 89=72 个，一位数共 8 个，不含数字 3 的共有 15832648728=6561 所求为 100006561=3439 个 7、在 1000 到 9999 之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为 2，并且 4 个数字各不相同的四位数有多少个？ 分析：分析：13结构：87=56，31同样 56 个，计 112 个； 24结构：87=56，42同样 56 个，计 112 个； 35结构：87=56，53同样 56 个，计 112 个； 46结构：87=56，64同样 56 个，计 112 个； 57结构：87=56，75同样 56 个，计 112 个； 68结构：87
6、=56，86同样 56 个，计 112 个； 79结构：87=56，97同样 56 个，计 112 个； 20结构：87=56， 以上共 112756=840 个 8、如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？ 分析：分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：34=12；来自语文、外语：35=15；来自数学、 外语：45=20；所以共有 121520=47 9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样
7、需要增加多少种不同的车票？ 分析：分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）= 90，所以增加 9042=48 张不同车票。 方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 73=21 张，3、起点、终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张 10、7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？ 分析：分析：因为 7=1111111，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种 11、从 19、2
8、0、21、22、93、94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 分析：分析：76 个数中，奇数 38 个，偶数 38 个 偶数偶数=偶数：C（38、2）=703 种，奇数奇数=偶数：C（38、2）=703 种，以上共 有 703703=1406 种 12、用两个 3，一个 1，一个 2 可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？ 分析：分析：因为有两个 3，所以共有 P（4、4）2=12 个 13、有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种？ 分析：分析：第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、
9、3）=10，第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有 2 种错贴方法，所以 可能情况共有 102=20 种。 14、有 9 张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有 1 张，标有数码“2”的有 2 张，标有数码“3”的有 3 张，标有数码“4” 的有 3 张，把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。 如果 M 处放标有数码“3”的纸片，一共有 多少种不同的放置方法？ 如果 M 处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 分析：分析： 如果 M 处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构： 在剩下的 6 个位置中，3 个“4”必须隔开，共有奇、偶位 2
10、种放法，在剩下 的 3 个位置上“1”有 3 种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有 23=6 种不同的放法。 如果 M 处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况： 结构一： 3 个“3”和 3 个“4”共有 2 种放法，再加上 2 和 1 可以交换位置，所以共有 22=4 种； 结构二：3 个“4”有奇、偶位 2 种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上 2 和 3 可以交换，所以共有 22=4 种； 结构三：3 个“3”有奇、偶位 2 种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上 2 和 4 可以交换位置，所以共有 22=4 种， 以上共有 444=1
11、2 种不同的放法。 15、一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？如果要求每 两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？ 分析：分析：4 个舞蹈节目要排在一起，好比把 4 个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目，全排列 7！，加上 4 个 舞蹈本身也有全排 4！，所以共有 7！4！=120960 种。 4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间，6 个演唱包括头尾共有 7 个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4），加上 6 个演 唱的全排 6！，共有 P（7、4）6！=60
12、4800 种。 行程问题讲义行程问题讲义 1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路 程用了多少分钟？ 分析：分析：解法、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是 6000/75=80 分钟，走前一半路程速度一定是 80 米， 时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟 解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟 因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米
13、，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 40 +（40-37.5）=42.5 分钟 答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。 2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已 知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？ 分析：分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共 用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用
14、时间 90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是 下坡速度的 45/60=0.75 倍。 解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时 间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75 解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75 答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。 3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二
15、小时比第一小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 分析：分析：解法，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走 1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地。顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米， 说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同，这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1 小时路程差的 1/4，所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米 解法，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2
16、 -3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。 答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。 4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人 从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时， 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 分析：分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆 车，共 9 辆，有 8 个
