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1、乌中旗第一中学 高二年级数学 学科(选修)选修1-1 导学案 执笔：杨惠元 审核： 翟钰 使用时间：2012上学期 班级：高二年级 小组： 姓名: （教师备课栏及学生笔记栏）3.1.1 变化率问题 学习目标 1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程 一、课前准备（预习教材P72 P74，找出疑惑之处）复习1：曲线与曲线 的（ ）A长、短轴长相等 B焦距相等C离心率相等 D准线相同复习2：当 从 到变化时，方程 表示的曲线的形状怎样变
2、化？二、新课导学 学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：试试：设 ， 是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与 的差记为 ，即= 或者 = ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为 ，即 = ；如果它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题例1 过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 变式：已知函数的图象上一点 及邻近一点 ，则 = 例
3、2 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001小结： 动手试试 练. 已知函数 ， ，分别计算在区间-3，-1，0，5上及的平均变化率. （发现： 在区间m，n上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 学习小结1.函数的平均变化率是 2.求函数 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）
4、计分：1. 在内的平均变化率为（ ）A3 B2 C1 D02. 设函数 ，当自变量由 改变到 时，函数的改变量为（ ）A B C D3. 质点运动动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度为（ ）A B C D4.已知 ，从 到 的平均速度是_5. 在附近的平均变化率是_课后作业 1. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位： ），计算第一个10s内V的平均变化率.3.1.2 导数的概念学习目标 1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度 学习过程 一、课前准备预习教材P74 P76，找出疑惑之处）复习1：气球的体积V与半
5、径 之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 与起跳后的时间的关系为： . 求在 这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度 当趋近于0时的 得导数的定义：函数 在 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数在 处的导数，记作 或 即注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中， 趋近于0可正、可负、但不为0
6、，而 可以为0 (3) 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 上点（ ）及点 ）的割线斜率 (4)导数 是函数 在点 的处瞬时变化率，它反映的函数 在点 处变化的快慢程度. 小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位： ）为 . 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例2 已知质
7、点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当t=2，t=0.01时，求 . (2)当t=2，t=0.001时，求 . (3)求质点M在t=2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量 ；第二步：求平均变化率 ；第三步：取极限得导数 . 动手试试练1. 在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 (位移单位：m，时间单位：s)，求小球在 时的瞬时速度 三、总结提升 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=
8、知识拓展导数存在 连续 有极限 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间 到 时，物体的位移为 ，那么 为（ ）从时间 到 时，物体的平均速度； 在时刻时该物体的瞬时速度； 当时间为 时物体的速度； 从时间 到 时物体的平均速度 2. 在 x=1处的导数为（ ）A2x B2 C D13. 在 中， 不可能（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D大于0或小于04.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为 5. 若，则 等于 课后作业 1. 高台跳水运动中， 时
9、运动员相对于水面的高度是： (单位: m),求运动员在 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.3.1.3 导数的几何意义学习目标 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数. 学习过程 一、课前准备（预习教材P76 P79，找出疑惑之处）复习1：曲线上向上 的连线称为曲线的割线，斜率 复习2：设函数 在 附近有定义当自变量在 附近改变 时，函数值也相应地改变 ，如果当 时，平均变化率趋近于一个常数，则数 称为函数 在点 的瞬时变化率. 记作：当 时， 二、新课导学 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点 ，沿着曲线 趋近于点 时，割线的
10、变化趋是什么？新知：当割线 P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线 割线的斜率是： 当点 无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数 在 处的导数就是切线PT的斜率k ，即新知：函数 在 处的导数的几何意义是曲线在 处切线的斜率. 即 = 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象.根据图象,请描述、比较曲线 在 附近的变化情况. 动手试试练1. 求双曲线 在点 处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求 在点 处的导数.三、总结提升 学习小结函数 在 处的导数的几何意义是曲线在 处切线的斜率. 即= 其切
11、线方程为 。 知识拓展导数的物理意义：如果把函数 看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量 表示时间），那么导数 表示运动物体在时刻 的速度，即在的瞬时速度.即 而运动物体的速度 对时间 的导数，即 称为物体运动时的瞬时加速度. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线 上一点,则点 处的切线斜率为（ ）A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）A BC D 3. 在可导，则，则 （ ）A与、都有关 B仅与有关而与无关C仅与有关而与无关 D与、都无关4. 若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为 5. 已知函数在处的导数为11，则= 课后作业 1.如图,试描述函数在=附近的变化情况. 22已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.3.2.1几个常用函数导数学习目标 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习过程 一、课前准备（预习教材P81 P82，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 ： 复习2：求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量
