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1、2018潜江市初中数学例题习题 变式拓展辅导,wuli 湖北省潜江市教学研究室 向 晋 辉,开头的话,2016年中国学生发展核心素养内容的发布，标志着我国进入了素质教育2.0版。随之，数学核心素养内容也新鲜出炉，分为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。史宁中先生认为，数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型，因此，抽象、推理、模型应该是数学核心素养的关键。,案例1,基本结构,1如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DA
2、E=90，点D在线段AB上，点E在线段AC上请直接写出线段BD与线段CE的关系： ,2如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由,变式1,3如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点D在线段AC上，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由,变式2,4如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由,变式3,5如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点D在线段BC上，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由,变式4,6如图，ABC和
3、ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点D在线段BC上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论,变式5,7（2014武汉）如图，在四边形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45，求BD的长,变式6,1（2007南平）如图，等腰直角ABC中，ABC=90，点P在AC上，将ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90后得到CBQ （1）求PCQ的度数； （2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小； （3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明,拓展1,2（2015铁岭）已知：点D是等腰直角三
4、角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE，连接CE求证：BD=CE，BDCE （2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由； （3）若BD= CD，直接写出BAD的度数,拓展2,3（2015黄石）在AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD （1）如图1，若AOB=90，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：AC=BD；ACBD； （2）如图2，若AOB为任意三角形且AOB=，CDAB，AC与
5、BD交于点E，猜想AEB=是否成立？请说明理由,拓展3,4（2015贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题： （1）如图，若点P在线段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ； （2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程； （3）若动点P满足PA PB= 1 3，求 的值（提示：请利用备用图进行探求）,拓展4,5(2016黄石)在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=2 （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：ADFA
6、BC； （2）如图2，在（1）的条件下，若=45，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图3，若=45，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由,拓展5,6（2015威海）（1）如图1，已知ACB=DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的长 （2）如图2，已知ACB=DCE=90，ABC=CED=CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的长,拓展6,7（2015梅州）在RtABC中，A=90，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线B
7、D1与CE1的交点为P （1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果） （2）如图2，当=135时，求证：BD1= CE1，且BD1CE1； （3）设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；点P到AB所在直线的距离的最大值为 （直接填写结果）,拓展7,8（2016达州）ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF （1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时， BC与CF的位置关系为： ； BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考：如图2
8、，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 （3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE若已知AB=2 ，CD= BC，请求出GE的长,拓展8,9（2013营口）如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、 AD （1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； 将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图
9、2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； （2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD= 4/3，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF，求BD2+AF2的值,拓展9,10（2016丹东）如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（09
10、0），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明,拓展10,11（2016三明）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE= 90，点P为射线BD，CE的交点. （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转， 当EAC= 90时，求PB的长； 直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.,拓展11,拓展12,拓展13,案例2,基本结构,1如图，在正方形ABCD中
11、，点E，F分别为BC，DC边上的点，EAF45，当BEDF时，连结EF 求证：BEDFEF,基本结构,2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的点，EAF45，当BE DF时，连结EF 求证：BEDFEF,基本结构,3如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的点，EAF45，连结BD,分别交AE，AF于点M，N 探究线段BM，MN，DN满足的等量关系，并说明理由,1如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在BC，CD边上，分别连接AE，AF，EF，若EAF=45，求CEF的周长,变式1,1如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E，F分别在BC，CD边上，
12、 BE=4，分别连接AE，AF，EF，若EAF=45，求AEF的面积,变式2,3如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD边上，分别连接AE，AF，EF，若CEF的周长是8，求EAF的度数,变式3,4 （2013岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q （1）求证：DPDQ； （2）如图，小明在图的基础上做PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）如图，固定
13、三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP3:4，请帮小明算出DEP的面积,变式4,5已知MAN 135，正方形ABCD绕点A旋转当正方形ABCD旋转到MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连结MN 如图1，若BM DN，则线段MN与BMDN之间的数量关系是 ； 如图2，若BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由,变式5,6如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D、E是
14、边AB上的两点，AD=3，BE=4，DCE=45，则ABC的面积是多少？,变式6,拓展1,1 （2014日照） （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积,拓展2,2（2013达州）如图1，点E、F分别在正方形AB
15、CD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由 （1）思路梳理： AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合 ADC=B=90，FDG=180，点F，D ， G共线 根据_，易证AFG_，得EF=BE+DF （2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E，F分别在边BC ， CD上，EAF=45若B ， D都不是直角，则当B与D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF （3）联想拓展：如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D ， E均在边BC上，且DAE=45猜想BD ， DE ， EC应满足的等量关系，并写出推理过程,拓展3,3如图，在正方形ABCD中，EBC=EAF=CDF=45，探究BE，EF，DF之间满足的等量关系,拓展4,4如图
