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1、第五节指数与指数函数2019考纲考题考情 1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式()na(注意a必须使有意义)。2有理数的指数幂(1)幂的有关概念0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)。(ar)sars(a0，r，sQ)。(ab)rarbr(a0，b0，rQ)。3指数函数的图象与性质
2、yaxa10a1图象定义域R值域(0，)1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0。由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大。3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究。 一、走进教材1(必修1P59A组T4改编)化简(x0，y0)_。解析因为x0，y0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_。解析由题意知a2
3、，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1。答案3(必修1P59A组T7改编)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_。解析因为yx是减函数，所以0，即ab1，又c01，所以cba。答案cba二、走近高考4(2016全国卷)已知，则()AbacBabcCbcaDcab解析因为，函数在(0，)上单调递增，所以，即ac，又因为函数y4x在R上单调递增，所以，即ba，所以ba1，则f(x)maxf(1)a2；若0a0，且a1)的图象可能是()A B CD解析当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，此时四个选项均不对；当0a0，且a1)的图象必过点(1,0)，故选D。答案D考点一 指数幂的
4、运算【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数为()a；aR，则(a2a1)01； xy；。A0B1C2D3解析(1)若n是奇数，则a；若n是偶数，则|a|所以错误；因为a2a1恒不为0，所以(a2a1)0有意义且等于1，所以正确；不能化简为y，所以错误；因为0，所以，所以错误。故选B。(2)原式111。答案(1)B(2)指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数。 【变式训练】 (其中a0，b0)_。(2)化简a()5的值为_。解析(1)原式2131
5、01。(2)由题意可得a1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)(2019厦门模拟)若曲线y|3x1|与直线ym有两个不同交点，则实数m的取值范围是_。解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1。函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。2与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。 考点三 指数函数的性质及应用微点小专题方向
6、1：指数函数的单调性应用【例3】(1)(2019福建厦门模拟)已知a0.3，blog0.3，cab，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCacbDbc1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是()AMNBMN CMN解析(1)blog0.3log1a0.3，caba。所以ca1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a1)0.21，N0.1N。故选D。答案(1)B(2)D比较指数式的大小的方法1能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。2不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。 方向2：复合函数的单调性应
7、用【例4】(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_。(2)函数f(x)的单调递减区间为_。解析(1)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减。而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4。(2)设ux22x1，因为yu在R上为减函数，所以函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间。又ux22x1的增区间为(，1，所以f(x)的减区间为(，1。答案(1)(，4(2)(，1求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域
8、、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。 方向3：指数函数性质的综合问题【例5】(1)函数f(x)a(a，bR)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为()A(1,1)B(2,2)C(3,3)D(4,4)(2)若不等式12x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_。解析(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)a0，函数图象过点，则f(ln3)a。结合可得a1，b2，则f(x)1。因为ex0，所以ex11，所以02，所以11。因为函数yx和yx在R上都是减函数，所以当x(，1时，x，x，所以x
9、x，从而得。故实数a的取值范围为a。答案(1)A(2)指数函数性质的重点是其单调性，解题中注意利用单调性实现问题的转化。 【题点对应练】1(方向1)已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1B0ab1C1baD1a0时，11。因为x0时，bx0时，x1。所以1，所以ab。所以1b0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|。由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减。故选B。答案B4(方向3)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_。解析原不
