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1、第九节函数模型及其应用2019考纲考题考情1三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f (x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f (x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f (x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f (x)axnb(a，b，n为常数，a0) “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。 一、走进教材1(必修1P
2、107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意。故选D。答案D二、走近高考2(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z
3、，则当z81时，x_，y_。解析因为z81，所以解得答案8113(2017北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。下列各数中与最接近的是(参考数据：lg30.48)()A1033 B1053C1073 D1093解析因为0，所以lglglg3361lg1080361lg38093.28。所以1093。故选D。答案D三、走出误区微提醒：对三种函数增长速度的理解不深致错；建立函数模型出错；计算出错。4已知f (x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af
4、(x)g(x)h(x)Bg(x)f (x)h(x)Cg(x)h(x)f (x)Df (x)h(x)g(x)解析由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f (x)h(x)。故选B。答案B5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)。1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18万件时，L(x)有最大值。故选B。答案B6一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏
5、出，t min后剩余的细砂量为yaebt cm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过_min，容器中的细砂只有开始时的八分之一。解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，所以e8b，容器中的细砂只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。答案16考点一 用函数图象的变化刻画变化过程【例1】(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。根据该折线图，下列结论错误的是(
6、)A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确。从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大。故选A。答案A当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。 【变式训练】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。
7、下列叙述中正确的是()A消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都超过5 km，则A错误。对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误。对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油801108(L)，则C错误。对于选
8、项D：速度在80 km/h 以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对。答案D考点二 已知函数模型的实际问题【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2。(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x)(x3)210(x3
9、)(x6)2,3x6。从而，f (x)30(x4)(x6)。于是，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f (x)0f (x)极大值42由上表可得，x4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。所以，当x4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42。即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。求解已给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。3利用该模型求解实际问题。 【变式训练】某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：)满足函数
10、关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0 的保鲜时间是192 h，在22 的保鲜时间是48 h，则该食品在33 的保鲜时间是_h。解析依题意有192eb,48e22kbe22keb，所以e22k，所以e11k或(舍去)，于是该食品在33 的保鲜时间是e33kb(e11k)3eb319224(h)。答案24考点三 构建函数模型的实际问题微点小专题方向1：构建二次函数模型【例3】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地
11、共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132。因为x0,16，且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元。故选C。答案C方向2：构建分段函数模型【例4】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数。当x不超过4尾/立方
12、米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年。(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式。(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值。解(1)由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，显然vaxb在(4,20内是减函数，由已知得解得所以vx。故函数v(2)设年生长量为f (x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x)当0x4时，f (x)为增函数，故f (x)maxf (4)428；当4x20时，f (x)x2x(x220x)(x10)2，f (x)maxf (
13、10)12.5。所以当0x20时，f (x)的最大值为12.5。即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米。方向3：构建指数函数、对数函数模型【例5】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6% C1.7%D1.8%(2)十三届全国人大一次会议政府工作报告指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展
14、的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右。如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.06531.208)()A93.8万亿元 B99.9万亿元C97万亿元 D106.39万亿元解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以10为底的对数，则40lg(1x)lg2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%。故选C。(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7(16.5%)399.9(万亿元)。故选B。答案(1)C(2)B解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作
