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1、第二节参 数 方 程2019考纲考题考情1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段的数量。3圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角为参数的圆的参数方程为(为参数)0,
2、2)。4椭圆的参数方程以椭圆的离心角为参数，椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)0,2)。1将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围。2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离。 一、走进教材1(选修44P26T4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_。解析消去t，得xy1，即xy10。答案xy102(选修44P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭
3、圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值。解直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，所以a3。二、走出误区微提醒：不注意互化的等价性致误；直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；交点坐标计算出错致误。3若曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A直线x2y20B以(2,0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析将曲线C的参数方程化为普通方程得x2y20(0x2,0y1)。故选D。答案D4已知直线(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|()A|t1t
4、2|B|t1t2|C|t1t2|D解析依题意，A(x0at1，y0bt1)，B(x0at2，y0bt2)，则|AB|t1t2|。故选C。答案C5在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为(cossin)2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_。解析由(cossin)2，得xy2。又消去t，得y28x。联立得即交点坐标为(2，4)。答案(2，4)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程。(1)(t为参数)。(2)(为参数，0,2)。解(1)由已知得t2x2，代入y5t中得y5(2x2)。即
5、它的普通方程为xy50。(2)因为sin2cos21，所以x2y1，即y1x2。又因为|sin|1，所以其普通方程为y1x2(|x|1)。将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性。参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。 【变式训练】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sinm。(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若
6、曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围。解(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，可得其普通方程为yx2(2x2)，由曲线C2的极坐标方程为sinm，可得其直角坐标方程为xym0。(2)联立曲线C1与曲线C2的方程，可得x2xm0，所以mx2x2，因为2x2，曲线C1与曲线C2有公共点，所以m6。考点二 直线参数方程的应用【例2】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)。(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率。解(1)曲线C的直角坐标方程为1。当cos0时，l的直角坐标方
7、程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1。(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80。因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20。又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2。1直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离。2根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2|。(2)若定点M0(标准
8、形式中的定点)是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1t20。(3)设线段M1M2的中点为M，则点M对应的参数为tM。 【变式训练】(2019西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin24cos。(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|。解(1)由sin24cos，可得2sin24cos，所以曲线C的直角坐标方程为y24x。(2)将直线l的参数方程代入y24x，整理得4t28t70，所以t1t22，t1t2，所以|
9、AB|t1t2| 。考点三 圆与椭圆参数方程的应用【例3】(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)。(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a。解(1)曲线C的普通方程为y21。当a1时，直线l的普通方程为x4y30。由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，。(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d，其中sin，cos。当a4时，d的最大值为。由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为。由题设得，所以a16。综上，a8或a16。椭圆的参数方程实质是三角代换，有
10、关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。 【变式训练】(2019安徽质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为22sin20，曲线C2的极坐标方程为(R)，C1与C2相交于A，B两点。(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求|PA|2|PB|2的取值范围。解(1)由题意知，C1：(x1)2(y1)24，C2：xy0。联立解得A(1，1)，B(1,1)或A(1,1)，B(1，1)。(2)设P(12cos
11、，12sin)，不妨设A(1，1)，B(1,1)，则|PA|2|PB|2(2cos)2(2sin2)2(2cos2)2(2sin)2168sin8cos168sin，所以|PA|2|PB|2的取值范围为168，168。考点四 求曲线的参数方程【例4】在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点。(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。解(1)O的直角坐标方程为x2y21。当时，l与O交于两点。当时，记tank，则l的方程为ykx。l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或。综上，的取值范围是。(2)l的参数方程为。设A，B，
12、P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp，且tA，tB满足t22tsin10。于是tAtB2sin，tPsin。又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是。求曲线的参数方程最为关键的一点是根据题意合理恰当地选择参数，比如本题选择了直线的倾斜角为参数，并且也要注意参数的取值范围。 【变式训练】如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程。解圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPcos2cos2，yPsin2sincos(为参数)。所以圆的参数方程为(为参数)。1(配合例2使用)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正
13、半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin。(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B两点，若P点的直角坐标为(2,1)，求|PA|PB|的值。解(1)易得直线l的普通方程为yx1。因为曲线C的极坐标方程为4sin4sin4cos，即24sin4cos，所以圆C的直角坐标方程为x2y24x4y0(或写成(x2)2(y2)28)。(2)点P(2,1)在直线l上，且在圆C内，把代入x2y24x4y0，得t2t70，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t270，即t1，t2异号，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|。2(配合例3使用)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，mR)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2(0)。(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值。解(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为xym0。由曲线C2的极坐标方程得3222cos23，0，所以曲线C2的直角坐标方程为y21(0y1)。(2)设曲线C2上任意一点
