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1、函数的单调性和值域1 函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当时，都有f()f()，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。2.函数单调性的证明方法，通常用两种方法证明：定义法 导数法（1）利用定义法证明函数单调性的一般步骤是：取值 作差（有时也可作商）变形定号 作出结论判断.用定义法证明函数的
2、单调性时，要比较f()与f()的大小，最常用的方法是作差（或作商）比较法。（2）用导数法证明函数单调性的理论为：若函数y=f(x)在某区间内可导，且满足0，则f(x)在该区间上单调递增；若满足0,则af(x)为增函数,若a0,则af(x)为减函数.(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性(4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合函数y=g(x)是减函数。（简称同增异减）例如：函数f(x)=在其定义域内为增函数；f(x)=函数在其定义域内是减函数。函数f(x)=在定义域(,+)内为增函数,在
3、定义域(-, )内是减函数5.函数的值域和最值（1）函数的值域（见函数的概念一节）（2）函数的最值函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：对任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：对任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么,称M是函数y=f(x)的最小值。注意：函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在I，使得f()=M；函数最大（小）值应该所有函数值中最大（或最小）的，即对于任意的xI，都有f(x) M(或f(x
4、)M)。6.求函数值域和最值的常用的方法（1）配方法（适用于一元二次函数型）例如，求下列函数的值域y=-2+5x+6 y=2x3 (0x3) y=3cosx+3( (-, -4,0 0,6 ) （2）换元法：一元二次函数型或三角代换。通过换元，将函数化为易求值域的函数形式（注意换元后变量的取值范围，以保证变形是恒等的）。例如，求下列函数的值域y=x- y=sinx+cosx+sinxcosx y=x-2+解：设=t, 易知t0,+）,且x=, 则原函数可化为:y=其中t0,+）,当x=0时,有最大值=, 即y. 故所求函数的值域为(-,设sinx+cosx=t,t-,则原函数可化为:y=t+（
5、其中t-,）以下略设x=2cost,t0,则原函数可化为:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t0,）以下略( (-, 1,) -4,-2 )（3）利用函数单调性求值域例如，求下列函数的值域y=+ y=- y=x- y= (1x3) y=+lnx (00) y= （x0）解：x0,x+2=2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以函数的值域为2，+） 当x=0时,y=0,当x0时,y=,x0, x+2=4,当且仅当x=2时,等号成立.所以函数的值域为y0,4注意：用均值不等式：若a,b,则a+b2求函数的最值时要“一正，二定，三等号成立”（5）利用导数求函数的值域。（其实质上是利用函
6、数的单调性求值域）例如：求函数y=2+2的值域解：=2x(41)，故原函数在区间(-1,-),(-,0) ,(0,),(,2)的单调性分别为：递减，递增，递减，递增。进而可得原函数的值域为：，30*（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可利用基本函数的值域求得例如：求函数y=的值域 解：函数的定义域为（-1，3）,令u= x（-1，3） 易求得：0u4因为函数y=为增函数,所以原函数的值域为：(,2 (此题还有其他解法)（7）分离常数法（常用来解决“分式型”函数的值域）例如：求函数y=的值域解：y=3+ 0,3+3, 函数y=的值域为yRy3（8）最值法：对于区间上的连续函数，利用求函
7、数最大值和最小值来求函数的值域。例如：求函数y=2sinx1的值域。解：-1sinx1 -32sinx11 所以原函数的值域为-3,1（9）判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。例如：求函数的值域。解：由得y2(y+1)x+2y1=0,由y=0得-2x-1=0,则x=-,0是函数值域中的一个值.当y0时,由= 4y(2y1)0得: y,故函数的值域为,（10）图象法：如果函数的图象较易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）例如：求函数y=x-3-x+1的值域 (-4,4)此外还有观察法等7.给定函数的值域或最值，求函数中参数的取值范围
8、例如：(1)设函数f(x)=2x+2a,当x-2,2时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。解法一，分离系数法；由f(x)0,得2x+2a0，即2a-+2x，设g(x)=-+2x=+1, x-2,2g(x)在-2,2的最小值为g(2)=8, 2a8, a4 所以实数a的取值范围为: (,4解法二：f(x)= 2x+2a=+2a1, f(x)在x-2,2上值域为2a-1,2a+8, 要使f(x)0, x-2,2恒成立，只须2a+80，所以 a-4, 所以实数a的取值范围为: (,4(2).设f(x)= +ax+3,当x-2,2时, f(x)0恒成立，求实数的取范围。 ( 7,2)*(3).函数
9、y=lg(+2x+m)的值是R，则实数m的取值范围是_ (,18.利用函数的单调性求函数中参数的取值范围例如：已知函数f(x)= 6ax+1在2，+）上为增函数，则实数a的取值范围为_解：f(x)= 6ax+1= +19, 因为函数f(x)在2，+）上为增函数，所以由3a2,得 a 所以实数a的取值范围(,若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最小值；若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最大值。9.例题例1 证明函数f(x)=x+ 在x(0,2)上是减函数解；（定义法）设02,则f()-f()
10、=()-()= 00, 从而函数f(x)在x(0,2)上为减函数。 (此题也可用导数求解)例2证明函数f(x)= (a0)在(-1,1)上是增函数例3已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)=1，若a,b-1,1,a+b0时,有，判断函数f(x)在-1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论。解：任取,-1,1,且,则-1,1,又f(x)是奇函数，于是=,据已知 0 0时，f(x)1,且对任意的a,bR,有f(a+b)=f(a)f(b)（1）求证:f(0)=1（2）求证：对任意的x恒有f(x)0（3）求证：f(x)是R上的增函数（4）若f(x)f(2x-)1,求x的取值范围（1）证明：令a=b=0,则f(0)=,又f(0)0,f(0)=1（2）证明：当x0,f(0)=f(x)f(-x)=1,f(-x)=, 又x0时f(x)0,xR时,恒有f(x)0.（3）证明：设,则,=, 又,., f(x)是R上的增函数.（4）解：由f(x)f(2x-)1,f(0)=1,得f(3x-)f(0),又f(x)是R上的增函
