《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.3 球学案 北师大版必修2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.3 球学案 北师大版必修2(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、7.3球1.了解球的体积和表面积公式.(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)基础初探教材整理球阅读教材P48“7.3球”一节至P49“例6”以上部分,完成下列问题.1.球的体积:球的半径为R,那么它的体积V球R3.2.球的表面积:球的半径为R,那么它的表面积S球面4R2.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)直径为d的球的表面积S4d2.()(2)若球的表面积扩大为原来的16倍,则球的半径扩大为原来的4倍.()(3)若球的半径变为原来的2倍,则球的体积变为原来的4倍.()【答案】(1)(2)(3)小组合作型球的表面积与体积的计算 已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的
2、距离等于,且ACBC,AB2,求球面面积与球的体积.【精彩点拨】利用已知条件,结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形,求出半径,从而求出球的体积与表面积.【自主解答】如图所示,设球心为O,球半径为R,作OO1平面ABC于O1,由于OAOBOCR,则O1是ABC的外心.由ACBC,AB2,知ABC是AB为斜边的直角三角形,O1是AB的中点,在RtAOO1中,OO1,O1AAB1,OA2,即R2,S球面4R216,V球R3.1.球的表面积和体积只与球的半径有关,因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.2.在求球的半径时,常用一个平面去截一个球,截面是圆面,球的截面有下面的
3、性质:(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d.再练一题1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为48 cm2,试求此球的表面积和体积.【解】如图,设截面圆的圆心为O1,则OO1O1A,O1A为截面圆的半径,OA为球的半径.48O1A2,O1A248.在RtAO1O中,OA2O1O2O1A2,即R248,R8(cm),S球面4R2464256(cm2),V球R3(cm3).球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将
4、球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少? 【导学号:39292055】【精彩点拨】设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.【自主解答】设PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面高PCh,球取出后水面高PHx,如图所示.ACr,PC3r,以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3,V球r3.球取出后水面下降到EF,水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圆锥V球,即x33r3r3,xr.故球取出后水面的高为r.1.画出截面图是解答本题的关键.2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具
5、体问题中,要分清涉及的是体积问题还是表面积问题,然后再利用等量关系进行计算.再练一题2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少?【解】设取出小球后,容器中水面下降h cm,两个小球的体积为V球2,此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h,所以52h,所以h(cm),即若取出这两个小球,则容器的水面将下降 cm.探究共研型与球有关的切、接问题探究1一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少?【提示】设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为a,它的外接球的半径为a,故所求的比为13.探究2长方体一个顶点上的
6、三条棱长分别为3,4,5,若它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是多少?【提示】设长方体的体对角线长为l,球半径为R,则所以R,所以S球4R250.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.【精彩点拨】解答本题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系,可通过正方体的对角面,也可将半球补成球,将其转化为球的内接长方体问题,找到球的半径与正方体棱长的关系后,再利用体积公式计算,进而作比即可.【自主解答】法一:作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,那么CCa,OC,在RtCCO中,由勾股定理,得CC2OC2OC2,即a2R2,所以Ra.从
7、而V半球R3a3,V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2a2a2(2a)2,即4R26a2,所以Ra.从而V半球R3a3,V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决,这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等,在这个截面中应包括每个几何体的主要元素,且这个截面包含体和体之间的
8、主要位置关系和数量关系.再练一题3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.a2B.a2C.a2D.5a2【解析】正三棱柱内接于球,则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处,在直角三角形中可得Ra,S4R24a2.【答案】B1.若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于()A. B.1C.2 D.3【解析】由题设球半径为r,则4r2r3,可得r3,故选D.【答案】D2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切,则这个多面体的体积为()A.Q B.Q C.Q D.2Q【解析】4R264R4,VQRQ,故选C.【答案】C3.已知H是球O的
9、直径AB上一点,AHHB12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为_.【解析】设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB12,所以OHR.由勾股定理,有R2r2OH2,又由题意得r2,则r1,故R21,即R2.由球的表面积公式,得S4R2.【答案】4.已知正四棱锥O ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为_. 【导学号:39292056】【解析】过O作底面ABCD的垂线段OE,则E为正方形ABCD的中心.由题意可知()2OE,所以OE,故球的半径ROA,则球的表面积S4R224.【答案】245.某几何体的三视图如图1731所示(单位:m):图1731(1)求该几何体的表面积(结果保留);(2)求该几何体的体积(结果保留).【解】由三视图可知,该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体,且半球的直径为2,该四棱柱为棱长为2的正方体.(1)该几何体的表面积为S2R2622R224(m2).(2)该几何体的体积为VR3238(m3).6