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1、专题14 定积分求值问题【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查,属于中低档题,其试题难度考查相对较小,重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理,注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一 利用微积分基本定理求定积分使用情景:一般函数类型解题模板:第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数;第二步 求方程的根;第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号;第四步 利用结论写出极值.例1 的值为( )A B C1 D2【答案】D【变式演练1】下列计算错误的是 ( )A B C D【答案】D【解析】试题分析:A选项,所以A正确;B选项,
2、所以B正确;C选项,根据偶函数图象及定积分运算性质可知,C正确;D选项错误。考点:定积分的计算。【变式演练2】若则的大小关系为( )A B C D 【答案】B【解析】试题分析:考点:定积分运算【变式演练3】( )A B C D【答案】A考点:定积分的应用.【变式演练4】若,则的值是_【答案】【解析】试题分析:由,得,所以考点:定积分的运算【变式演练5】_【答案】【解析】试题分析:由题意得考点:定积分的计算【变式演练6】设若,则 【答案】1考点:1函数的表示;2定积分运算 【变式演练7】如图,阴影部分的面积是( )A B C D【答案】C【解析】试题分析:面积为考点:定积分类型二 利用定积分的几
3、何意义求定积分使用情景:被积函数的原函数不易求出解题模板:第一步 画出被积函数的图像;第二步 作出直线计算函数所围成的图形;第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2 计算定积分.【答案】.考点:定积分的计算【变式演练8】设,则的值为( )A BC D【答案】A【解析】试题分析:,故选A考点:定积分【变式演练9】定积分的值为( )A B C D【答案】C【解析】试题分析:令,则,则,故应选C考点:定积分及运算【变式演练10】_.【答案】【解析】试题分析:因为, 等于以原点为圆心,以为半径的圆的面积的四分之一,即为,所以,故答案为.考点:1、定积分的应用;2、定积分的几何意义. 【变式
4、演练11】已知,展开式的常数项为15,则_【答案】【解析】试题分析:由的展开式的通项公式为,令,求得r=2,故常数项为,可得a=1,因此原式为考点:二项式定理;微积分基本定理【变式演练12】已知数列为等差数列,且,则的值为( )A B C D【答案】考点:等差数列性质及定积分类型三 导数与定积分的综合应用例3 如图所示,抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元,其它的三个边角地块每单位面积价值元.(1)求等待开垦土地的面积;(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值
5、最大.【答案】(1);(2)点C的坐标为. 考点:1.定积分;2.函数的最值.【变式演练13】给定可导函数,如果存在,使得成立,则称为函数在区间上的“平均值点”.(1)函数在区间上的平均值点为;(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”,则实数的取值范围是.【答案】(1)1;(2) 结合图像不难得到.考点:新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数,函数(1)当时,求函数的表达式;(2)若,函数在上的最小值是2 ,求的值;(3)在(2)的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】(1);(2);(3).(2)由(1)知当时,当时, 当且仅当时取等号.函数在上的最小
6、值是,依题意得. (3)由解得直线与函数的图象所围成图形的面积= 考点:导数及函数单调性、定积分的应用. 【变式演练15】如下图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N)(1) 求、及数列的通项公式;(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.【答案】(1) ,;(2) ;(3)见解析. 证法1:(数学归纳法)当时,显然成立;假设时,成立,则当时,而,时,也成立,由知不等式
7、对一切都成立. 证法2:.所以不等式对一切都成立. 证法3:令,则,当时, ,函数在上单调递增. 当时, .N, , 即.不等式对一切N都成立. 考点:1、利用导数求切线方程;2、数列的运算;3、定积分计算图形面积.【高考再现】1.【2015高考湖南,理11】 .【答案】.2【2015高考天津,理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象,解议程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考
8、查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.3.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”,否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即由直线,和曲线所围成的曲边梯形的面积是【反馈练习】1【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学(理)试题】若
9、,则的大小关系( )A. B. C. D. 【答案】D 2【2018届江西省高三年级阶段性检测考试(二)理科数学】( )A. 7 B. C. D. 4【答案】C【解析】.故选:C3【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题】如图所示,正弦曲线,余弦曲线与两直线, 所围成的阴影部分的面积为( )A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】 ,选D.4【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试(理)数学试题】已知等比数列,且,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由定积分的几何意义,表示圆 在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积,即=4
10、 ,所以 .又因为为等比数列,所以 .故选D.5【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学理试题】曲线,直线和轴所围成的区域的面积是_【答案】2e1 6【2018届江西省高三年级阶段性检测考试(二)理科数学】由曲线所围成图形的面积是,则_【答案】1【解析】由,得图象的交点坐标为,所以曲线所围成图形的面积是,所以故答案为:1点睛:用定积分处理面积问题的方法:牛顿-莱布尼茨定理,几何意义,奇偶性.7【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学(理)试题】已知函数,则_.【答案】【解析】由题意结合定积分的法则可得:.8【20172018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学(理科)】_【答案】 9【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示,由直线, 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间,即类比之,若对,不等式 恒成立,则实数等于_【答案】2 17