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1、第一讲 坐标系,一 平面直角坐标系,1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. 2.通过具体实例,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.,1.平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合. (2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系. 名师点拨坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”
2、成几何结论.,【做一做1-1】 若平行四边形ABCD的顶点为A(0,0),B(0,b),C(a,c),则第四个顶点D的坐标是( ) A.(a,b+c) B.(-a,b+c) C.(a,c-b) D.(-a,b-c),所以x=a,y=c-b.所以顶点D的坐标为(a,c-b). 答案:C,【做一做1-2】 已知平行四边形ABCD,建立适当的平面直角坐标系,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).,证明:以边AB所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则A(0,0). 设B(a,0),C(b,c),则由平行四边形的性质知D(b-a,c),|
3、AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2, |AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2. |AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),而|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).,2.平面直角坐标系中的伸缩变换,(2)在平面直角坐标系中,方程表示图形,则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换,即用代数方法研究几何变换.,答案:D,答案:A,建立平面直角坐标系的方法 剖析一般情况下,建立平面直角坐标系的方法如下:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线
4、为坐标轴建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系;(3)当题目中有已知长度的线段时,以线段所在的直线为x轴,以其端点或中点为原点建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上. 平面直角坐标系建成后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.,题型一,题型二,题型三,题型四,用平面直角坐标系解决实际问题 【例1】如图,点A,B,C表示三个观察站,A观察站在B观察站的正东方向,两地相距6 km,C观察站在B观察站的北偏西30方向,两地相距4 km.在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为
5、1 km/s,4 s后,B,C两个观察站同时发现这种信号.在以过A,B两点的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,求发出这种信号的点P的坐标. 分析:由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线的右支上.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思合理建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键.如果坐标系建立的巧妙,那么就可以简化计算,并且使问题的结论清晰明了,反之,将会带来计算的烦琐.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知B村位于A村的正西方向1 km处,原计划经过B村沿
6、着北偏东60的方向埋设一条地下管线m,但在A村的西北方向400 m处,发现一处古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100 m的范围划为禁区.建立适当的平面直角坐标系,试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?,题型一,题型二,题型三,题型四,解:建立如图所示的平面直角坐标系,因为113.6 m100 m, 所以埋设地下管线m的计划不需要修改.,则A(0,0),B(-1 000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400 m,题型一,题型二,题型三,题型四,平面直角坐标系中的轨迹问题 【例2】 已知ABC的顶点A固定,角A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿
7、一条直线移动,试建立适当的平面直角坐标系,求ABC外心的轨迹方程. 解:以边BC所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A的坐标为(0,b). 设ABC的外心为M(x,y),边BC的中点为N, 则MNBC, 即MN是边BC的垂直平分线. 因为|BC|=2a, 所以|BN|=a,|MN|=|y|. 又M是ABC的外心, 所以|MA|=|MB|.,题型一,题型二,题型三,题型四,化简,得所求的轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0(xR,y0). 反思在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意: (1)选择恰当的平面直角坐标系; (2)要注意给出曲线图形
8、的范围,在限定范围的基础上求曲线方程.如果只求出曲线的方程,而没有根据题目要求确定出x,y的取值范围,那么最后的结论是不准确的.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】如图,圆O1与圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|,题型一,题型二,题型三,题型四,解:以O1O2所在的直线为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0). 设P(x,y),连接PO1,PO2,O1M,O2N, 则|PM|2=|PO1|2-|MO1|2=(x+2)
9、2+y2-1, 同理,|PN|2=(x-2)2+y2-1.,即(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 即x2-12x+y2+3=0, 即(x-6)2+y2=33. 故动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.,题型一,题型二,题型三,题型四,平面直角坐标系中的伸缩变换,分析:将伸缩变换中的x,y分别用x,y表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思我们在使用伸缩变换时,要注意点的对应性,即分清变换前后的坐标.P(x,y)是伸缩变换后的点的坐标,P(x,y)是伸缩变换前的点的坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在平面直角坐标系中,直线x-y=2经过伸缩变换后变成直线2x-y=3,则满足题意的伸缩变换公式为 .,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:对平面直角坐标系中的伸缩变换公式把握不准而致错,错解直线x+8y+4=0. 错因分析:点(x,y)在变换前的图形上,点(x,y)在变换后的图形上,因此点(x,y)的坐标满足变换前的图形对应的方程,点(x,y)的坐标满足变换后的图形对应的方程.错解混淆了(x,y)和(x,y)的含义.,题型一,题型二,题型三,题型四,
