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1、动态最优化方法 第3讲 变分法的基本问题 第三讲 变分法的基本问题 （一）基本形式 Max 或 Min S.T. （满足）： 产生Vy的一个极值（最大值或最小值）的一条光 滑路径y被称为极值曲线极值曲线 dttytytFyV T 0 , 给定）（AAy0 给定）（ZTZTy, 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （1）极值曲线的必要条件 设有一极值曲线，任意取一条扰动曲线， 且，把扰动曲线乘上一个很小的数 得极值曲线的邻近路径 A Z T 0 y t ty* tptyty * tp ty* tp tptyty * 00Tpp 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （1）极
2、值曲线的必要条件 每一个将确定一条邻近路径y ， 从而确定的一个特定值 所以： 由于极值曲线将产生V的一个极值点，所以有： （极值曲线的必要条件） yV ty*意味着极值曲线0 VV 0 0 d dV 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （2）几个求导和积分法则 1）莱布尼茨法则 定积分： 有： 2）积分上下线求导法则 定积分： 有： b a dtxtFxI, b a x b a dtxtFdt x xtF dx dI , , b a dtxtFabJ, xbFxtF db dJ bt , xaFxtF da dJ at , 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （2）几
3、个求导和积分法则 3）积分上限包含变量的求导 定积分： 有： 4）分部积分法则 xb a dtxtFxK, xbxxbFdtxtF dx dK xb a x , b a b a b a udvvuvdu 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （2）几个求导和积分法则 算例： 求下列定积分关于x的导数 （1） （2） （3） b a xt dteI x dttI 2 0 2 3 x xdt teI 2 0 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （3）推导欧拉方程 1）把目标泛函 改变为： 利用莱布尼茨法则求导，并令其等于0，得： dttptytptytFV T 0 * , d
4、ttytytFyV T 0 , 0 0 00 dttpFtpF dt d yd y F d dy y F dt F d dV T yy TT 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （3）推导欧拉方程 2）利用分部积分法则： 极值曲线的必要条件为： 由于不全为0，所以必要条件意味着： dt dt dF tpdt dt dF tptpFdttpF y T y T T y T y 00 0 0 0 00 dt dt dF FtpdttpFtpF T y y T yy tp Tt dt dF F y y , 0, 0 对于所有 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 欧拉方程的形式：
5、 其中： TtF dt d F yy , 0, 01 对于所有）（ y tytytF Fy , y tytytF Fy , yy FdtF ）（2 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 由全导数： 得欧拉方程另种清晰的形式： )()(tyFtyFF dt yd y F dt dy y F t F F dt d yyyyy t yyy y Tt FFtyFtyF yy tyyyy , 0 , 0)()(3 对于所有 ）（ 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子1 找出下列泛函的极值曲线 边界条件： 解： 欧拉方程： dtytyyV 2 0 2 12 8200yy和 2 12ytyF 01
6、22 tty 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子1 由欧拉方程得通解： 把边界条件代入： 解得： 极值曲线： （通解） 21 3 CtCtty 8200yy和 00 12 CC， （定解） 3 tty 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子2 找出下列泛函的极值曲线 边界条件： 解： 欧拉方程： dtytyV 5 1 2/1 3 7531yy和 2/1 3ytF 0 4 1 2/3 tyy 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子2 猜测解为： 积分得： 把边界条件代入，解得： 极值曲线： 0, 1 yCy从而 21 * CtCty 2, 1 21 CC 2 * tty 第三讲 变分法的基本问题
7、（三）例子3 找出下列泛函的极值曲线 边界条件： 解： 欧拉方程： dtyytyV 5 0 2 3 3500yy和 yytF3 2 02 y 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子3 解为： 边界条件为： 解违背了终结条件，所以不存在极值曲线 （给定端点的某些变分问题可能无解） 0 * ty 3500yy和 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子4 找出下列泛函的极值曲线 边界条件： 解： 所以欧拉方程总成立 dtyyV T 0 Tyy和0 yF 01, 0 yyy F dt d FF 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子4 直接积分得： V的值依赖于给定的终结状态和初始状态，与连接两个 端点的状
8、态无关 原因：当关于是线性的时候，是常数且 所以欧拉方程: 第一项消失，不再是二阶微分方程，通解不再是两个 任意常数。不能保证有解。 0 0 yTytyyV T F y y F 0 y y F 0)()( yy tyyyy FFtyFtyF 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （1）情形1： 欧拉方程： 解为： ytFF, 0 dt dFy 常数 y F 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （1）情形1： 例子： 被积函数： 欧拉方程为： 通解： 代入边界条件，解得： 极值曲线： ytFF, 32 2* 4 1 CtCtty 1, 4 1 32 CC 1 4 1 4 1 2
9、* ttty 110 1 0 2 yy dtyy tyV 边界条件： 2 yy tF 1 2CytFy 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （2）情形2： 欧拉方程： 欧拉方程同乘以，左端正好是 欧拉方程可写为： 解： yyFF, 0 yyyyy FtyFtyF 常数 y FyF y dtFFyd y / 0/ dtFFyd y 第三讲 变分法的基本问题 四）几种特殊情形 （2）情形2： 例子： 得： 由公式，得： 通解： 代入边界条件，得极值曲线： yyFF, 02/, 10 2/ 0 22 yy dtyyyV 边界条件： yFyyF y 2 22 ， 常数 22 yy ttyco
10、s * ctatycos 2 * 第三讲 变分法的基本问题 四）几种特殊情形 （2）情形2： 例子：（另种解法） 一般形式的欧拉方程： 通解： 代入边界条件，得极值曲线： yyFF, 0022 yyyy tttysincos * ttycos * 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （3） 欧拉方程： 1）如果， 则： 2） 如果，由于 解为： 所以解：极值曲线必是一条直线 yFF 0 tyF yy 0 t y （直线簇）， 211 CtCtyCty 0 y y F （直线簇）Ctktyky ii yFF 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （3）情况3： 例子 得： 欧拉
11、方程： 解得： yFF ZTyAy dtyyV T ,0 1 0 2/1 2 边界条件： 2/1 2 2/1 2 1 ,1 y y FyF y 0/ dtdFy 常数 2/1 2 2/1 2 11C C yC y y Fy 第三讲 变分法的基本问题 （4）情形4： 欧拉方程： 不是微分方程，问题退化 （极值曲线可能不满足边界条件） ytFF, 0,ytFy 第三讲 变分法的基本问题 练习题： 求下列泛函的极值曲线： （1） （2） （3） 21, 10 2 1 0 2 yy dtytyyV 边界条件： 21, 00 1 0 22 yy dtytyV 边界条件： 51, 20 2 1 1 0 2
12、 yy dtyyyyyyV 边界条件： 第三讲 变分法的基本问题 （五）欧拉方程的推广 （1）多个状态变量 给定问题中具有n1个状态变量，泛函变为： （对每个状态变量都有一对初始条件和终结条件） 欧拉方程组： dtyyyytFyyV T nnn 0 111 , ）（ 对于所有 nj TtF dt d F j yyj , 2 , 1 , 0, 0 第三讲 变分法的基本问题 （五）欧拉方程的推广 （1）多个状态变量 例子：求下列泛函的极值曲线 被积函数： 欧拉方程组： 51z, 30z, 21y, 10y , 1 0 22 边界条件： dtzyzyzyV 22 zyzyF 012 012 z y 第三讲 变分法的基本问题 （五）欧拉方程的推广 （1）多个状态变量 例子： 通解： 把边界条件代入，得定解： 43 2* 21 2* 4 1 4 1 CtCttz CtCtty 3 4 7 4 1 1 4
