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1、第十节导数的概念及运算考纲传真1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y，即f(x0).几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数f(x)的导函数：称函数
2、f(x)li 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0
3、)不一定为切点2直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( )(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( )(4)若f(a)a32axx2，则f(a)3a22x.( )答案(1)(2)(3)(
4、4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为( )A. B. C. D.D由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.3函数yxcos xsin x的导数为( )Axsin x Bxsin x Cxcos x Dxcos xBycos xxsin xcos xxsin x，故选B.4若f(x)xex，则f(1)_.2ef(x)exxex，则f(1)e1e12e.5曲线y在点M(，0)处的切线方程为_xy0y，则y|x，则切线方程为y(x)，即xy0.导数的计算1f(x)x(2 0
5、18ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于( )Ae2 B1 Cln 2 DeBf(x)2 018ln x12 019ln x，则f(x0)2 019ln x02 019，解得x01，故选B.2已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.4f(x)2x2f(1)，则f(1)22f(1)，解得f(1)2所以f(x)2x4，则f(0)4.3求下列函数的导数(1)y；(2)yxsincos ；(3)yx2ex1.解(1)y.(2)yxsin x，y1cos x.(3)ye1x2ex，ye1(2xexx2ex)ex1(x22x)规律方法导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的
6、形式，再求导公式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导导数的几何意义考法1求切线方程【例1】(1)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为( )Ay2x ByxCy2x Dyx(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_(1)D(2)xy10
7、(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，由此可得a1，故f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.考法2求切点坐标【例2】设函数f(x)x3ax2.若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为( )A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)D由f(x)x3ax2得f(x)3x22ax，记y0f
8、(x0)，由题意可得由可得xaxx0，即x0(xax01)0.由可得3x2ax010.由可得x00，所以式可化为xax010.由可得x01，代入式得或即P(1，1)或P(1,1)故选D.考法3求参数的值【例3】(1)已知函数f(x)(x2ax1)ex(其中e是自然对数的底数，aR)，若f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，则a( )A1 B1 C2 D2(2)已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为( )A2 B1C D1(1)C(2)B(1)f(x)(x2ax1)ex(x2ax1)(ex)(2xa)ex(x2ax1)exx2(a2)x(a1)ex，故f(0)02(a2)
9、0(a1)e0a1.因为f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，故f(0)1，即a11，解得a2.(2)设切点坐标为(x0，y0)，y，则y|xx0，由得x01，切点坐标为，又切点在直线yxb上，故b，得b1，故选B.规律方法导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0).(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可.(3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.,(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断
10、出函数图象升降的快慢. (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(2)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于_(1)(e，e)(2)1(1)由题意得yln x1，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)(2)依题意知，y3x2a，则由此解得所以2ab1.1(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_y2x2由题意知，y，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y02(x1)，即y2x2.2(2015全国卷)已知函数
11、f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a的值f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.3(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_2xy0设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.4(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.8法一：yxln x，y1，y2.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，y2ax0(a2)由解得自我感悟：_
