平稳时间序列模型的建立教材1

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1、第三章 平稳时间序列模型的建立,第三章 平稳时间序列模型的建立,第一节 时间序列的采集、直观分析和特征分析 第二节 时间序列的相关分析 第三节 平稳时间序列的零均值处理 第四节 平稳时间序列的模型识别 第五节 平稳时间序列模型参数的矩估计 第六节 平稳时间序列模型的定阶 第七节 平稳时间序列模型的检验 第八节 平稳时间序列模型的建模方法,第一节 采集、直观分析和特征分析,时间序列的建模流程,数据的采集,方法： 直接采样 累计采样 特征采样 阈值采样 原理： 采样间隔越小，采样值越多，信息损失就越小，数据处理量越大，处理时间、人力、财力消耗越大. 采样间隔越大，采样值越少，信息损失就越多，数据处

2、理的时间、人力、财力消耗越小.,时间序列数据的预处理,预处理： 直观分析 特征分析 相关分析,直观分析,直观分析包括：离群点的检验和处理，缺损值的补足，指标计算范围的统一等等. 离群点(outlier)：指一个时间序列中远离序列一般水平的极端大值和极端小值。通常是由于系统外部干扰而形成的，可以根据序列值与平滑值两者间的差异来判断. 缺损值(missing value)：指在采集时间序列时，由于仪器故障、操作失误、观察问题等种种原因引起在某些观测点上未能记录的观察值.,特征分析,定义： 特征分析就是在对数据序列进行建模之前，通过从时间序列中计算出一些有代表性的特征参数，用以浓缩、简化数据信息，以

3、利于数据的深入处理，或通过概率直方图和正态性检验分析数据的统计特征. 特征参数包括： 位置特征参数，散度特征参数，分布特征参数,位置特征参数,样本均值： 极小值： 极大值：,散度特征参数,极差： 样本方差： 样本标准差：,分布特征参数,偏度： 峰度： 标准偏度系数： 标准峰度系数：,第二节 时间序列的相关分析,时间序列的相关分析,相关分析： 纯随机性检验 平稳性检验 正态性检验,纯随机性检验,定义：纯随机性检验，又称白噪声检验，是检验时间序列观察值之间是否具有相关性. Bartlett定理： 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n 的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数

4、若 ，则自相关系数为零的可能性是95%，可认为数据是不相关的.,检验统计量： Q统计量：Box和Pierce共同推导出 原假设：延迟期数小于或等于m的序列值之间相互独立 结论： 当Q0.05时，接受原假设；当p0.05时，拒绝原假设，Xt是平稳非白噪声序列，尝试建立ARMA模型。 一般取k N/10,纯随机性检验,纯随机性检验,纯随机性检验,时间序列的平稳性是时间序列建模的重要前提。 目的：检验相关序列值Xt之间是否是平稳的 检验的对象： 序列是否具有常数均值和常数方差？ 序列的自相关函数是否仅与时间间隔有关，而与时间的起止点无关？,平稳性检验,常用的检验方法： 数据图检验法 自相关和偏相关系

5、数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法,平稳性检验,数据图检验法,以时间为横轴，变量Xt的取值为纵轴 平稳的特点 无明显的趋势性或周期性 在一直线附近做小幅波动,1990年12月19日-2008年11月6日上证A股指数日数据(除去节假日，共4386个数据),1994年-1995年香港环境数据序列 (a) 表示因循环和呼吸问题前往医院就诊的人数； (b) 表示二氧化硫的日平均水平； (c) 表示二氧化氮的日平均水平； (d) 表示可吸入的悬浮颗粒物的日平均水平,数据图检验法,数据图检验法,优点：简单，方便，直观 缺点：主观性强,检验原理： 若序列Xt的样本自相关系数和偏相关

6、系数既不截尾，又不拖尾，则可以肯定该序列是非平稳的。,自相关和偏相关系数图检验法,自相关和偏相关系数图检验法,尝试拟合AR(1)模型,尝试拟合MA(1)模型,自相关和偏相关系数图检验法,尝试拟合AR(1)，MA(1)， ARMA (1,1) 模型,自相关和偏相关系数图检验法,自相关和偏相关系数图检验法,特征根检验法,原理： 自回归部分特征方程的特征根在复平面的单位圆内 检验步骤： 先拟合适应性模型； 求出该模型自回归部分特征方程的特征根； 若特征根|i|1，则该序列平稳.,特征根检验法,特征根检验法,游程检验法,平稳性的非参数检验法-游程检验法 可用SPSS软件计算 AnalyzeNonpar

7、ametric TestsRuns Z1.96，则该时间序列平稳。,常用的检验方法： 数据图检验法 自相关和偏相关系数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法,平稳性检验,第三节 平稳时间序列的零均值处理,ARMA模型：自回归移动平均模型,中心化ARMA(p,q)模型 非中心化ARMA(p,q)模型,ARMA模型：自回归移动平均模型,中心化ARMA(p,q)模型 非中心化ARMA(p,q)模型,第四节 平稳时间序列的模式识别,对ARMA模型的初步识别,模型识别的基本原则,模型定阶的困难,由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 会呈现出小值

8、振荡的情况。 由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数k， 与 都会衰减至零值附近作小值波动。 当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作拖尾呢？,Bartlett定理：零均值的平稳时间序列Xt： 若自相关系数q步截尾，则 若偏相关系数p步截尾，则 95的置信区间： 模型定阶的经验方法：利用2倍标准差辅助判断,模型识别,模型定阶经验方法,如果样本自(偏)相关系数在最初的d阶明显大于2倍标准差范围，而后几乎95的自(偏) 相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且由非零自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然。这时通常视为自(偏)相关

9、系数截尾，截尾阶数为d。 如果有超过5%的样本自(偏) 相关系数都落入2倍标准差的范围之外，或者是由显著非零的自(偏)相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续，这时通常视为自(偏) 相关系数拖尾。,1950年-1998年北京城乡居民定期储蓄比例,尝试拟合 AR(1)模型,模型识别,模型识别,连续读取70个化学反应数据,尝试拟合AR(1),MA(1), ARMA (1,1) 模型,第五节 平稳序列模型参数的矩估计,第六节 平稳时间序列模型的定阶,问题： 如何ARMA(p,q)的中p和q？ 定阶的方法： 残差方差图定阶法 F-检验定阶法 最佳准则函数法 AIC准则 BIC准则,模型的定阶,

10、在回归分析中，F检验法常被用来考察两个回归模型是否具有显著差异。 原理： 检验后面s个回归因子对因变量的影响是否显著 设样本容量为N，上述两个模型的残差平方和分别是Q0与Q1，则检验统计量为,F检验定阶法,结论：对于给定的显著性水平 若FF(s,N-r)，则拒绝原假设，认为后面s个回归因子对因变量的影响是显著的，表明M1合适； 若FF(s,N-r)，则接受原假设，认为这s个回归因子对因变量的影响是不显著的，表明M2合适。,F检验定阶法,1967年，瑞典控制论专家K.J.Astrm教授将F检验准则用于对时间序列模型的定阶。 原理(模型阶数简约原则 parsimony principle)： 设X

11、t(1tN)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合 检验统计量： 结论 若FF，则拒绝原假设，认为AR(p)合适； 若FF，则接受原假设，认为AR(p-1)合适。,AR(p)模型定阶的F准则,检验统计量： 结论 若FF ，则拒绝原假设，模型阶数仍有上升的可能； 若FF ，则接受原假设，认为ARMA(p-1,q-1)合适。,ARMA(p,q)模型定阶的F准则,由于自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)定阶法具有很强的主观性，是一种较为粗略的方法，而最佳准则函数定阶法则可以帮助我们在一些所选的模型中选择相对最优的模型。 最佳准则函数法，即确定出一个准则函数。建模时按照信息准则函数的取值确定模型

12、的优劣，以决定取舍，使准则函数达到极小的是最佳模型。 分类： AIC准则法 BIC准则法,最佳准则函数法,AIC准则,背景： AIC准则是日本统计学家赤池Akaike于1973年提出的，全称为最小信息量准则，或AIC准则(Akaike information criterion)。该准则确定出一个准则函数，既考虑拟合模型对原始数据的拟合程度，也考虑模型中所含待定参数的个数，适用于ARMA模型的检验。 AIC准则函数： AIC=-2ln(模型的极大似然度)+2(模型的独立参数个数),AIC准则用于ARMA模型的定阶,对于中心化的ARMA(p,q)模型：N为样本容量 对于非中心化的ARMA(p,q

13、)模型：,AIC准则的说明,对于中心化的ARMA(p,q)模型：N为样本容量 说明： 第一项：体现了模型拟合的好坏，它随着阶数的增大而减小； 第二项：体现了模型参数的多少，它随着阶数的增大而变大。,BIC准则,AIC准则是样本容量N的线性函数，在N时不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数要多，是过相容的。 为了弥补AIC准则的不足，Akaike于1976年提出BIC准则，而Schwartz在1978年根据Bayes理论也得出同样的判别标准，称为SC准则。理论上已证明，SC准则是最优模型的真实阶数的相合估计。,AIC与BIC准则,对于中心化的ARMA(p,q)模型：N为样本容量,AIC

14、与BIC准则,第七节 平稳时间序列模型的检验,平稳序列的ARMA建模步骤,模型识别：用自相关图和偏相关图识别模型形式 (p=? q=?) 参数估计：确定模型中的未知参数 模型的定阶：用AIC和SC准则进行模型定阶 模型检验： 模型的适应性检验 参数的显著性检验 序列预测,模型的适应性检验,目的 检验模型的有效性-对信息的提取是否充分 判定原则 一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列； 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效。 检验对象 残差序列的纯随机性检验,模型的适应性检验,

15、即为残差序列的纯随机性检验,ARMA模型的检验,ARMA模型的检验主要分为以下两个方面： 模型的适应性检验 整个模型对信息的提取是否充分 参数的显著性检验 模型结构是否最精简,参数显著性检验,目的：检验模型的每一个未知参数是否显著非零，使模型更精简 假设条件： 构造检验统计量：一般服从t分布 结论：对于显著性水平 当该检验统计量的p值小于时，拒绝原假设，认为该参数显著(不为零)。 否则，认为该参数不显著。这时，应该剔除不显著参数所对应的自变量重新拟合模型，构造出新的、结构更精简的拟合模型。,参数显著性检验,参数显著性检验,第八节 平稳时间序列模型的建模方法,平稳时间序列建模,模型的特点： 模型

16、具有多样性；模型的参数应符合简约性原则 常用的建模方法： Box-Jenkins方法 Pandit-Wu方法 长阶自回归建模方法,平稳时间序列建模,ARMA建模的基本步骤： 模型识别：用样本自相关图和偏相关图识别模型形式； 初步定阶：利用上述不同的建模方法初步确定模型的阶数，可能会得到多个不同的模型； 参数估计：对各个模型的未知参数进行估计； 模型的最终定阶：利用AIC、SC值和剩余平方和，选择恰当的模型，确定最终的模型阶数； 模型检验：对参数的显著性和模型的适应性进行检验； 模型预测：利用所建模型，对序列进行预测。,Box-Jenkins建模方法,基本步骤： 先检验序列的纯随机性和平稳性； 若序列为平稳的非白噪声序列，判别所属的模型类别：AR模型，MA模型，ARMA模型； 框定所属模型的最高阶数；然后采用ARMA(n,n-1) 从低阶到高阶对模型进行拟合和检验； 利用AIC和SC对不同的模型进行比较，以确定最适宜的模型； 对选出