§2 实数理论七、戴德金分割 ( Dedekind Cut )给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立：(1) A有一个最大元素a，B没有最小元素例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数 (2) B有一个最小元素b，A没有最大元素例如A是所有<1的有理数B是所有≥1的有理数 (3) A没有最大元素，B也没有最小元素例如A是所有负的有理数、零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数注: A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数前面2种情况中，分割是有理数这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数定义 (戴德金分割(Dedekind Cut)) 设有理数全体组成的集合为Q； A 和 B 是两个有理数集合 ，如果A和B满足：(1) A和B中至少包含Q中的一个元素；(非空)(2) 对，有，即；(不漏)(3) 对都有 (有序)则称A和B为Q的一个分割(或分划)，记为(A|B)，并称A为分割的下类，B为分割的上类。
戴德金(Dedekind)定理 设 (A|B) 是实数 R 的一个分割，即： (1) A和B中至少包含中的一个元素非空)(2) 对，有，即 ；(不漏)(3) 对都有 (有序)则或者A有最大数，或者B有最小数 用戴德金定理证明 确界存在定理：有上(下)界的非空数集必有上(下)确界 证明 设是非空有上界的数集，设上界：，.(1) 若中有最大数，则即为的上确界；(2) 若中无最大数，则的所有上界都不在中由的所有上界构成集合，令；显然. 因为有上界，所以不空；又因为非空，且，所以不空； 显然有：； 由, 的定义知：对，有.则由戴德金分割的定义知：构成了实数集的一个分割由戴德金定理可知，或者中有最大数；或者中有最小数若中有最大数，则因为，所以应该是的上界，于是；矛盾！即中没有最大数于是中必有最小数，记为.因为是的所有上界构成的集合，而，即是的上界中最小的；由上确界的定义知：是集合的上确界。