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1、第三章 向量,湖北经济学院,线性代数,一、考试要求,1.了解向量的概念，掌握向量线性运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组极大线性无关组的概念，掌握求向量组的极大线性无关组的 方法.,4.了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩. 5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法.,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,二、主要内容 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向
2、量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量
3、组 是向量组 的一个最大无关组,定义,7. 向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：,8 向量的长度,定义,9. 向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义,10. 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义,11. 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,一、向量的线性表示,三、极大线性无关组,三、典 型 例 题,及向量组的秩,二、向量组
4、线性关系的判定,四、向量空间的判定,一、向量的线性表示,例1 判断向量 是否能由向量组 线性表示?如果能,写出一种表达式.,解: 设 对矩阵 作初等行变换:,线性表示,故,取 ,得一个解,故,在此例中, 线性表示的方式有无穷多种.,例2 已知向量 (1) a,b为何值时, 不能由 线性表示? (2)a,b为何值时, 可由 线性表示?并写出一种表达式.,解:,(1) 当 时, 不能由 线性表示. (2)当 时, 方程组有唯一解. 可由 线性表示.,(3) 当 时, 方程组有无穷多解. 可由 线性表示.,类似1已知向量 为何值时（1） 不能由 线性表示? 可由 惟一线性表示?并写出表达式. 可由
5、线性表示，但表示式不唯一，并写出表示式,解:,（2004）,（1）当 为任意常数时，有,线性表示.,（2）当,可由 惟一线性表示，表达式为,（3）当 时，有,可由 线性表示，表达式不惟一，为,类似2（2011年数学三）设向量组,不能由向量组,线性表出,（1）求a的值,（2）将,由,线性表出,解：易知,线性无关，由于其不能由,线性表出，得到,线性相关，,从而,得,例3 设,证明向量组 与向量组 等价.,分析:证明,即可.,例4（2003） 设有向量组A和B,试问：当 为何值时，两向量组等价？当 为何值时，两向量组不等价？,分析:由两向量组等价的定义知,只需讨论 为何值时,两方程组,有解.,即,解
6、法1 对矩阵 进行初等行变换,进行判断.,当,线性方程组,无解,不能由 线性表示,所以组 与组 不等价.,当 ,可由 线性表示,再将 进行初等行变换 判断 是否成立,解法2 因,故 均有唯一解，因而对任意 ，组 可用组 线性表示。,但,当 ,方程组,有唯一解,因而 可由 线性表示.,注意该题中向量的维数和向量的个数相等,可考虑用行列式来判断这些方程组是否有解.,当 时,两向量组等价.,例5（1998）若向量组 、 、 线性无关， 、 、 线性相关，则（ ） A. 必可由 、 、 线性表示 B. 必不可由 、 、 线性表示 C. 必可由 、 、 线性表示 D. 必不可由 、 、 线性表示,提示：
7、由 、 、 线性无关， 、 、 线性相 关；可得 、 线性无关， 、 、 线性 相关，那么 可由 、 线性表示.所以 必 可由 、 、 线性表示.,例6（1999）设向量 可由向量组 线 性表示，但不能由向量组（I）： 线性表示，记向量组（II）： 则（ ）,A. 不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示 不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示 可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示 可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示,提示： 可由向量组 线性表示，并且 表达式中 的系数不为零，那么 可由 线性表示；同时 不可由 线性表示，否则 可由向量组 线性表示.,答案：B,例7
8、（2005）确定常数 ，使向量组,可由向量组,线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示.,答案：根据向量组的秩及矩阵的初等行变换，,可由向量组,解：,线性表示.,，又因为,不可由向量组,线性表示.,即,当,不满足,可由向量组,线性表示.,线性表示.,例8（1992高数一）设向量组 线性相关 线性无关，问： （1） 能否由 线性表出？证明你的结论. （2） 能否由 线性表出？证明你的结论.,解（1）,能由 线性表出，因为,线性无关，所以 线性无关，又因,线性相关，故结论成立,（2）,不能由 线性表出（反证法）,若,能由 线性表出，设,代入上式得,能由 线性表出，与已知,线性无关矛盾。于是结论成
9、立.,故,二、向量组线性关系的判定,判断线性相关的方法: 1.用定义 线性相关 线性相关 4.至少有一个向量可由其余向量线 性表示 线性相关 5.部分相关,则整体相关 6.长的相关,则短的相关 7.向量的个数大于向量的维数 线性相关 8.有两个向量对应成比例 线性相关 9.含有零向量时 线性相关,判断线性无关的方法: 1.用定义 线性无关 线性无关 4.每一个向量都不能由其余向量线 性表示 线性无关 5.整体无关,则部分无关 6.短的无关,则长的无关,例9 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,例11 设 线性无关，并且有,证明： 线性无关的充分必要条件是：,（可以作为
10、结论直接引用）,提示：,那么,例12（1988）已知向量组 线性无关，设,试讨论向量组 的线性相关性.,提示：可以直接利用例11的结论得 ： 若 为偶数， 线性相关； 若 为奇数， 线性无关.,例13（1997）设向量组 线性无关，则下 列向量组中线性无关的是（ ）,A. B. C. D. 提示：直接利用例11的结论， 线性无关.,类似（2007）,设向量组 线性无关，则下 列向量组中线性无关的是（ ）,A. B. C. D. 提示：直接利用例11的结论，选A 线性无关.,例14（2003）设 均为 维向量，下列结 论不正确的是（ ） A.若对于任意一组不全为零的数 ， 都有 ，则 线性无关.
11、 B.若 线性相关，则对于任意一组不 全为零的数 ，都有,线性无关的充分必要条件是此向量 组的秩为 线性无关的必要条件是其中任意两 个向量线性无关,答案：B,例15（2002）设三阶矩阵 ，三维向量,已知 与 线性相关，则,提示： 与 线性相关，则 与 对应分量成比例，,例16（2002）设向量组 线性无关，则 ， ， 必满足关系式,答案：,例17（1990）向量组 线性无关的充分 必要条件是（ ）,均不为零向量 中任意两个向量的分量不成比例 任一向量均不能由其余 个向量 线性表示 D. 中有一部分线性无关,答案：C,例18（1991）试证明 维列向量组 线性 无关的充分必要条件是：,其中 为
12、 的转置.,提示： ，则,线性无关,例19（1992）设 均为 维向量，那么 下列结论正确的是（ ） A.若 ，则 线 性相关. B.若对任何一组不全为零的数 ，都有 ，则 线 性无关,C.若 线性相关，则对任何一组不全为零 的数 ，都有 D.若 ，则 线 性无关,答案：B,例20（1996）设有任意两个 维向量组 和 ，若存在两组不全为零的数 和 使,则（ ）,和 都线性相关 和 都线性无关,C. 线性无关 D. 线性相关 提示：将上述表达式化为,答案：D,例21（2005）设行向量组 线性相关， 且 ，则 ,答案：,例22 设 是 个互不相同的数， 证明向量组 线性无关.,提示：用Vandermonde行列式先考虑 维向量组 线性无 关，然后再考虑增加分量的向量组 也线性 无关.,例23（2006）设 均为 维向量， 是 矩阵，下列正确的是（ ） A.若 线性相关，则 线性相关 B.若 线性相关，则 线性无关 C.若 线性无关，则 线性相关,D.若 线性
