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1、第三章 向量,湖北经济学院,线性代数,一、考试要求,1.了解向量的概念,掌握向量线性运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组极大线性无关组的概念,掌握求向量组的极大线性无关组的 方法.,4.了解向量组等价的概念,理解向量组的秩的概念,了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系,会求向量组的秩. 5.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法.,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,二、主要内容 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向
2、量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算,满足下列八条运算规则:,除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:,若干个同维数的列(行)向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示,则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论(最大无关组的等价定义),设向量组 是向量组 的部分组,若向量组 线性无关,且向量组 能由向量组 线性表示, 则向量
3、组 是向量组 的一个最大无关组,定义,7. 向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质:,8 向量的长度,定义,9. 向量的夹角,所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组,就称为正 交基,定理,定义,10. 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义,11. 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 (列)向量都是单位向量,且两两正交,定义 若 为正交矩阵,则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,一、向量的线性表示,三、极大线性无关组,三、典 型 例 题,及向量组的秩,二、向量组
4、线性关系的判定,四、向量空间的判定,一、向量的线性表示,例1 判断向量 是否能由向量组 线性表示?如果能,写出一种表达式.,解: 设 对矩阵 作初等行变换:,线性表示,故,取 ,得一个解,故,在此例中, 线性表示的方式有无穷多种.,例2 已知向量 (1) a,b为何值时, 不能由 线性表示? (2)a,b为何值时, 可由 线性表示?并写出一种表达式.,解:,(1) 当 时, 不能由 线性表示. (2)当 时, 方程组有唯一解. 可由 线性表示.,(3) 当 时, 方程组有无穷多解. 可由 线性表示.,类似1已知向量 为何值时(1) 不能由 线性表示? 可由 惟一线性表示?并写出表达式. 可由
5、线性表示,但表示式不唯一,并写出表示式,解:,(2004),(1)当 为任意常数时,有,线性表示.,(2)当,可由 惟一线性表示,表达式为,(3)当 时,有,可由 线性表示,表达式不惟一,为,类似2(2011年数学三)设向量组,不能由向量组,线性表出,(1)求a的值,(2)将,由,线性表出,解:易知,线性无关,由于其不能由,线性表出,得到,线性相关,,从而,得,例3 设,证明向量组 与向量组 等价.,分析:证明,即可.,例4(2003) 设有向量组A和B,试问:当 为何值时,两向量组等价?当 为何值时,两向量组不等价?,分析:由两向量组等价的定义知,只需讨论 为何值时,两方程组,有解.,即,解
6、法1 对矩阵 进行初等行变换,进行判断.,当,线性方程组,无解,不能由 线性表示,所以组 与组 不等价.,当 ,可由 线性表示,再将 进行初等行变换 判断 是否成立,解法2 因,故 均有唯一解,因而对任意 ,组 可用组 线性表示。,但,当 ,方程组,有唯一解,因而 可由 线性表示.,注意该题中向量的维数和向量的个数相等,可考虑用行列式来判断这些方程组是否有解.,当 时,两向量组等价.,例5(1998)若向量组 、 、 线性无关, 、 、 线性相关,则( ) A. 必可由 、 、 线性表示 B. 必不可由 、 、 线性表示 C. 必可由 、 、 线性表示 D. 必不可由 、 、 线性表示,提示:
7、由 、 、 线性无关, 、 、 线性相 关;可得 、 线性无关, 、 、 线性 相关,那么 可由 、 线性表示.所以 必 可由 、 、 线性表示.,例6(1999)设向量 可由向量组 线 性表示,但不能由向量组(I): 线性表示,记向量组(II): 则( ),A. 不能由(I)线性表示,也不能由(II)线性表示 不能由(I)线性表示,但可由(II)线性表示 可由(I)线性表示,也可由(II)线性表示 可由(I)线性表示,但不可由(II)线性表示,提示: 可由向量组 线性表示,并且 表达式中 的系数不为零,那么 可由 线性表示;同时 不可由 线性表示,否则 可由向量组 线性表示.,答案:B,例7
8、(2005)确定常数 ,使向量组,可由向量组,线性表示,但向量组 不能由向量组 线性表示.,答案:根据向量组的秩及矩阵的初等行变换,,可由向量组,解:,线性表示.,,又因为,不可由向量组,线性表示.,即,当,不满足,可由向量组,线性表示.,线性表示.,例8(1992高数一)设向量组 线性相关 线性无关,问: (1) 能否由 线性表出?证明你的结论. (2) 能否由 线性表出?证明你的结论.,解(1),能由 线性表出,因为,线性无关,所以 线性无关,又因,线性相关,故结论成立,(2),不能由 线性表出(反证法),若,能由 线性表出,设,代入上式得,能由 线性表出,与已知,线性无关矛盾。于是结论成
9、立.,故,二、向量组线性关系的判定,判断线性相关的方法: 1.用定义 线性相关 线性相关 4.至少有一个向量可由其余向量线 性表示 线性相关 5.部分相关,则整体相关 6.长的相关,则短的相关 7.向量的个数大于向量的维数 线性相关 8.有两个向量对应成比例 线性相关 9.含有零向量时 线性相关,判断线性无关的方法: 1.用定义 线性无关 线性无关 4.每一个向量都不能由其余向量线 性表示 线性无关 5.整体无关,则部分无关 6.短的无关,则长的无关,例9 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,例11 设 线性无关,并且有,证明: 线性无关的充分必要条件是:,(可以作为
10、结论直接引用),提示:,那么,例12(1988)已知向量组 线性无关,设,试讨论向量组 的线性相关性.,提示:可以直接利用例11的结论得 : 若 为偶数, 线性相关; 若 为奇数, 线性无关.,例13(1997)设向量组 线性无关,则下 列向量组中线性无关的是( ),A. B. C. D. 提示:直接利用例11的结论, 线性无关.,类似(2007),设向量组 线性无关,则下 列向量组中线性无关的是( ),A. B. C. D. 提示:直接利用例11的结论,选A 线性无关.,例14(2003)设 均为 维向量,下列结 论不正确的是( ) A.若对于任意一组不全为零的数 , 都有 ,则 线性无关.
11、 B.若 线性相关,则对于任意一组不 全为零的数 ,都有,线性无关的充分必要条件是此向量 组的秩为 线性无关的必要条件是其中任意两 个向量线性无关,答案:B,例15(2002)设三阶矩阵 ,三维向量,已知 与 线性相关,则,提示: 与 线性相关,则 与 对应分量成比例,,例16(2002)设向量组 线性无关,则 , , 必满足关系式,答案:,例17(1990)向量组 线性无关的充分 必要条件是( ),均不为零向量 中任意两个向量的分量不成比例 任一向量均不能由其余 个向量 线性表示 D. 中有一部分线性无关,答案:C,例18(1991)试证明 维列向量组 线性 无关的充分必要条件是:,其中 为
12、 的转置.,提示: ,则,线性无关,例19(1992)设 均为 维向量,那么 下列结论正确的是( ) A.若 ,则 线 性相关. B.若对任何一组不全为零的数 ,都有 ,则 线 性无关,C.若 线性相关,则对任何一组不全为零 的数 ,都有 D.若 ,则 线 性无关,答案:B,例20(1996)设有任意两个 维向量组 和 ,若存在两组不全为零的数 和 使,则( ),和 都线性相关 和 都线性无关,C. 线性无关 D. 线性相关 提示:将上述表达式化为,答案:D,例21(2005)设行向量组 线性相关, 且 ,则 ,答案:,例22 设 是 个互不相同的数, 证明向量组 线性无关.,提示:用Vandermonde行列式先考虑 维向量组 线性无 关,然后再考虑增加分量的向量组 也线性 无关.,例23(2006)设 均为 维向量, 是 矩阵,下列正确的是( ) A.若 线性相关,则 线性相关 B.若 线性相关,则 线性无关 C.若 线性无关,则 线性相关,D.若 线性