《2018-2019年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教a版选修2-3（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1二项式定理教材研读预习教材P2931，思考以下问题1二项式定理的内容是什么？其通项公式又是什么？2二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？要点梳理1二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n叫做二项式系数2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1(ab)n展开式
2、中共有n项()2二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项相同()3Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()答案1.2.3.思考：你能写出(ba)n的二项展开式吗？二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？提示：(ba)nCbnCbn1aCbn2a2Can.二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(ab)n与(ba)n结果相同，但(ab)n与(ba)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(ab)3的展开式中第2项是3a2b，而(ba)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的 (1)求4的展开式；(2)化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1
3、)25(x1)思路导引(1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的a，b及n的值解(1)解法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C33C481x2108x54.解法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)01(x1)151x51.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆
4、用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪训练利用(ab)n的二项展开式解题(1)求(a2b)4的展开式；(2)求5的展开式解(1)根据二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn，得(a2b)4Ca4Ca3(2b)Ca2(2b)2Ca(2b)3C(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.(2)5C(2x)5C(2x)4C(2x)32C(2x)23C(2x)4C532x5120x2.题型二二项式定理中的特定项与系数问题思考1：在(ab)n展开式中，第k项是什么？提示：TkT(k1)1Cank1bk1.思
5、考2：在(ab)n的二项展开式中，Tk1Cankbk是二项展开式的第几项？其二项式系数是什么？提示：Tk1Cankbk是第k1项，其二项式系数为C. 已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数；(4)求展开式中所有的有理项思路导引利用二项式定理中的通项公式求解解(1)通项为Tr1Cx(3)rxC(3)rx.因为第6项为常数项，所以r5时，有0，即n10.(2)令2，得r2.所以所求的系数为C(3)2405.(3)10的展开式的通项是Tr1C(3)rx，第4项的二项式系数为C120，第4项的系数为C(3)312027324
6、0.(4)根据通项，由题意得所以r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2.即405x2，61236,295245x2.求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解【温馨提示】应用通项公式要注意四点(1)Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；(2
7、)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题跟踪训练1求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数解由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr26rC(1)rx，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)5212.2求9的展开式中x3的系数解设展开式中的第r1项为含x3的项，则Tr1Cx9rr(1)rCx92r，令92r3，得r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84. 用二项式定理证明11101能被100整除思路导引由于100是10的
8、整数倍，故可将1110转化为(101)10，用二项式定理展开证明11101(101)101C1010C109C108C10C1C1010C109C108102100(108C107C1061)显然上式括号内的数是正整数，所以11101能被100整除整除性问题或求余数的处理方法(1)构造一个与题目条件有关的二项式；(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；(3)要注意余数的范围，若acrb，其中b为余数，b0，r)，r是除数利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注
9、意转化跟踪训练1试求199510除以8的余数解199510(82493)10.其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，199510除以8的余数与310除以8的余数相同又31095(81)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.2求证：32n28n9(nN*)能被64整除解证明：32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC82(n1)818n9C8n1C8nC82.式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除1.本节课的重点是二项式定理及利用二项式定理求二项展开式的特定项或特
10、定项的系数，难点是利用二项式定理解决整除(余数)问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)会用二项式定理进行化简或求值，见典例1；(2)会用二项式定理解决二项展开式的特定项或系数问题，见典例2；(3)会用二项式定理解决整除(余数)问题，见典例3.3本节课的易错点是项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析：(1)二项展开式的二项式系数是指C，C，C这些组合数，即二项展开式的通项公式Tr1Canrbr中的C(0rn，rN)求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定r的值，要注意通项为展开式的第r1项(2)系数即该项字母前的数连同符号，求二项展开式的指定项的系数，可直接运用展开式的通项公式，并令该项的次数与指定项的次数相等，求出r的值，则指定项的系数就是把r代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值(3)项是指系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置(4)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关6
