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1、第 1 页 共 10 页 专题一：集合综合选讲专题一：集合综合选讲 一、重要知识清单一、重要知识清单 （一）集合的概念（一）集合的概念 1 1集合元素的三性：集合元素的三性： 元素的确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。 （如 “我班的高个子”能否组成一个集合？） 元素的互异性：集合中的元素是没有重复现象的。任何两个相同的对象在同一个集合中 时，只能算作这个集合的一个元素。 （如不能组成集合） ， （一元二次方程有二等根时，其解集只有一个元素） , , , a a b c 元素的无序性：（即与表示同一集合）1,22,1 2 2集合的表示方法：集合的表示方法： 列举法
2、：代表由元素组成的集合（或，这里 123 , n x x xx 123 , n x x xx , i x iI 表示指标集） ；I 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。一般记为，( )xA p x 使命题为真的中诸元素之集。( )p xA 文氏（韦恩图）法：用 或 表示集合的方法。 （二）集合与集合的关系（二）集合与集合的关系（“包含包含”与与“不包含不包含”关系）关系） 1.1.子集：子集：任意，则（或）()；xAxBABBA, （否则存在，则 （或 ） （， ）xAxBABBA 性质：，特别地；传递性：。A AA,AB BCAC则 任意两集合、间的五种关系：AB 2.2
3、.真子集：真子集：任意，且存在，但，则（） 。xAxByByAAB BA 性质：，则；，则（但错误） 。AB BC AC A A 3.3.集合相等：集合相等：对于集合、，若且，则。ABABBAAB （用于证明两集合相等） A A B A AB B A A B ( )A BAB AB “包含”关系 B A ( )A B “不包含”关系 第 2 页 共 10 页 A B 注意区分几个符号： “”与“” ； “”与“” ； （对吗？）a a00,11,2,3,11,2 “”与“” ；（对吗？）00,0 注：“”或“”是对的；“”或“”是对的。 0000 4.4.全集、补集：全集、补集： （1 1）补
4、集：）补集：若，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补（余）ASSASA 集。记。 S C A （补集是相对于全集而言的） S C Ax xSxA且 （2 2）全集：）全集：含有所要研究的集合的全部元素的那个集合称为 全集。用等来表示。 , ,U I S （3 3）补集的性质：）补集的性质： ；。 U C U U CU () UU CC AA （三）集合的运算（三）集合的运算 1 1交集：交集：且（注意“且”不能用“和” 、 “与”等代替，它相当于ABx xAxB “同时” 、 “都” 、 “既又”等意思） 性质：； ； 交换律：；AAAA ABBA 结合律：； 。()()ABCABC
5、,ABA ABB 2 2并集：并集：或（“或”有三层意思：ABx xAxB 只属于不属于的元素；只属于不属于的元素；ABBA 既属于又属于的元素。 ）AB 性质：； ； 交换律：；AAAAA ABBA 结合律：； ()()ABCABC 。 （于是）,AAB BAB,ABAAB ABBAB 3 3子、交、并、补集的混合性质：（设全集为子、交、并、补集的混合性质：（设全集为）U ； ；,AUA AUU(),() UU AC AAC AU 分配律：；()()(),()()()ABCABACABCABAC A S S C A A B AB AB 第 3 页 共 10 页 ； ,AB ACABC AC
6、BCABC ；,ABABA ABABB 摩根定律（又叫反演律）： 。 ()()(),()()() UUUUUU CABC AC B CABC AC B 4 4 容斥原理：容斥原理： （其中表示集合中元素的个数） * CardAA ；()()Card ABCardACardBCard AB ()()()Card ABCCardACardBCardCCard ABCard BC 。()()Card CACard ABC 二、集合综合应用选讲二、集合综合应用选讲 1 1元素与集合、集合与集合的关系：元素与集合、集合与集合的关系： 例 1 （1）设全集，已知集合，ZU ZkkxxA,3|ZkkyyB,
7、 13| ，则_；ZkkzzC, 23|ZkkwwD, 16|AB _；_；_；ACBCBD _。 U C DB （2）集合，求与的关系。2,3 ,ABy yAAB 练习：设 A、B 为两个集合，下列四个命题： AB对任意； AB；BxAx有,AB ABA B； AB存在。BxAx使得, 其中真命题的序号是 _ （把符合要求的命题序号都填上） 。 （3）设,是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个1,2,3,100M AMAA 数是 。 第 4 页 共 10 页 例 2满足条件的函数形成了一个集合，其中， 1212 ()()4g xg xxx)(xgMRxx 21, 并且，求函数与集合
8、的关系。1, 2 2 2 1 xx)(23)( 2 RxxxxfyM 例 3.对于函数,若,则称为函数的不动点；对于函数,若( )yf x( )f xxx( )yf x ，则称为函数的稳定点。记函数的不动点与稳定点的集合分别为( ( )f f xxx( )yf x 和A ，即。B( ),Ax f xx( ( )Bx f f xx （1）求证：。AB （2）设， 2 ( )( ,)f xxbxc b cR 当时，求集合； 如果是单元素集，试判断集的关系。1,3A BA,A B （3）若，且，求实数的取值范围。 2 ( )1(,)f xaxaR xRAB a 第 5 页 共 10 页 例 4.已知
9、为有限集,且,满足集合中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所A * NA A 有这样的集合。A 2 2集合开放性问题：集合开放性问题： 例 1.（1）定义集合运算：，设集合，(),ABz zxy xy xA yBA 0,1A ，则集合的所有元素之和为（ ）2,3B ABA A 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 0 B 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 6 C 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http
10、:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 12 D 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 18 （2）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*” （即对任意的SS ，对于有序元素对（） ，在中有唯一确定的元素与之对应） 。若对任意的abS，ab，S*a b ，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）abS，() * ab ababS， A 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 B 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯
11、屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 () * a baa() () * ab aa ba C 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 D 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 () * bb bb() () * a bba bb （3）已知集合，且，则集合、所, 54321 aaaaaCBA, 21 aaBAABC 有 可能的情况有 种。 （4）设集合,都是的含两个元素的子集，且满足：对任意12 3
12、4 5 6M ， 12k SSS，M 第 6 页 共 10 页 的，（，） ，都有 iii Sab， jjj Sab，ij12 3ijk、，min ii ii ab ba ， （表示两个数中的较小者） ，则的最大值是（ ）min jj jj ab ba ，minxy，xy，k A 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 10 B 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 11 C 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 12 D 2 20 00 07 7新新疆疆奎奎屯屯 特特级级教教师师 http:/ 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 13 例 2.已知集合，其中，由中的元素构成 12 (2) k Aaaak，(12) i aZ ik，A 两个相应的集合： ，。()Sab aAbAabA ，()Tab aAbAabA ， 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和。()ab，STmn 若对于任意的，总有，则称集合具有性质。aAaA
