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1、第三章 点、直线、平面的投影,第二节 直线的投影,第三节 平面的投影,第四节 直线、平面的相对位置,第五节 投影变换,第一节 点的投影,第一节 点的投影,1-1 两投影面体系中点的投影,1-2 三投影面体系中点的投影,1-3 两点的相对位置,1-4 重影点的投影,例题1,例题2,基本要求,1-1 两投影面体系中点的投影,五、两面投影图的性质,二 、两投影面体系中点的投影,一、两投影面体系的建立,三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,四、两面投影图的画法,一、两投影面体系的建立,V,X,O,水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 轴 OX,二、两投影面体系中点的投影,点A的水平投影 a 点A
2、的正面投影 a,A,Z,Y,X,三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,四、两面投影图的画法,五、两面投影图的性质,1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa,通常不画出投影面的边界,1-2 三投影面体系中点的投影,三、点的直角坐标与三面投影的关系,二、三投影面体系中点的投影,一、三投影面体系的建立,五、特殊点的投影,四、三投影面体系中点的投影规律,一、三投影面体系的建立,水平投影面 - H HV - OX 正面投影面 - V V W - OZ 侧面投影面 - W HW - OY,Z,Y,W,O,O,二、 三投影面体系中点的投影,点A的水平投影 a 点A的正面投影 a 点A的侧
3、面投影 a,A,1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA,三、点的直角坐标与三面投影的关系,1. aa X轴，aaz = aay = xA 2. aaZ轴， aax =aa y = zA 3. aax = aaz =yA,四、三投影面体系中点的投影规律,五、特殊点的投影,1-3 两点的相对位置,两点中x值大的点 在左 两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上,1- 4 重影点的投影,例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,注：因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。,例题2 已知
4、点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,2-1 直线的投影,第二节 直线的投影,2-2 直线对投影面的相对位置,2-6 直角投影定理,2-3 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角,2-4 属于直线上的点,2-5 两直线的相对位置,基本要求,基本要求,2-1 直线的投影,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,2-2 直线对投影面的相对位置,一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线 2.直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线 3.从属于投影面的直线 从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属
5、于投影轴的直线 二、一般位置直线,(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性：1ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2 ab=AB。 3反映、 角的真实大小。,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性： 1 ab 平行于 OX ; a b平行于 OZ。 2 a b=AB。 3 反映、角的真实大小,投影特性： 1 ab 平行于 OZ ; ab平行于 OYH 。 2 ab =AB。 3反映 、 角的真实大小。,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性：1 a b 积聚 成一点。 2 a bOX ; a b OYW 。 3 a b = a b = AB。,（1）铅垂线
6、垂直于水平投影面的直线,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性： 1 a b 积聚 成一点。 2 ab OX ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点。 2 ab OYH ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。,从属于V 面的直线,从属于V 投影面的铅直线,从属于OX轴的直线,二、一般位置直线,投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长。 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴。 3不反映 、 、 实角。,四、作图 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
7、3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1,2-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,O,|yA-yB|,|yA-yB|,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,O,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,O,直线上的点具有两个特性： 1从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac :
8、 c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 例题2 例题3 例题4,2-4 属于直线的点,例题2 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c 。,O,例题3 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。,O,例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,O,2-5 两直线的相对位置,一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题5 例题6 例题7,一、平行两直线,1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相
9、互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。,O,二、相交两直线,当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。,O,三、 交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,O,四、交叉两直线重影点投影的可见性判断,判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,例题5 判断两直线的相对位置,例题6 判断两直线的相对位置,1d,c 1,O,例题7 判断两直线重影点的可见性,O,2-6 直
10、角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影 定理一 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、交叉垂直的两直线的投影 定理三 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 例题8 例题9 例题10,一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,O,AB垂直于AC,且AB平
11、行于H面,则有ab ac,二、交叉垂直的两直线的投影,O,例题8 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,例题9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,O,例题10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BC AB =2 3。,O,第三节 平面的投影,3-1 平面的表示法,3-2 各种位置平面的投影特性,3-3 属于平面的点和直线,基本要求,基本要求,3-1 平面的表示法,一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面
12、可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。,一、用几何元素表示平面,X,X,X,X,X,O,O,O,O,O,二、 平面的迹线表示法,3-2 各种位置平面的投影特性,一、投影面的垂直面 1铅垂面 2正垂面 3侧垂面 二、投影面的平行面 1水平面 2正平面 3侧平面 三、一般位置平面,1铅垂面,投影特性 (1) abc积聚为一条线。 (2) abc、 abc为ABC的类似形。 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小。,铅垂面迹线表示法,2正垂面,投影特性 (1) abc 积聚为一条线。 (2) abc、 abc为 ABC的类似形。 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大
13、小。,正垂面的迹线表示法,3侧垂面,投影特性 (1) abc积聚为一条线。 (2) abc、 abc为 ABC的类似形。 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小。,侧垂面的迹线表示法,1水平面,投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性。 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形。,2正平面,投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性。 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形。,投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性。 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形 。,3侧平面,三、一般位置平面,投影特性 (1
14、) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。 (2) 不反映、 的真实角度。,3-3 属于平面的点和直线,一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线,一、属于一般位置平面的点和直线,1平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3,1取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,2取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,例题1 已知给定一平面 ABC ，试判断点D是否属于该平面。,e,e,例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。,d,例题3 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。,二、属于特殊位置平面的点和直线,1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3过特殊位置直
