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1、第七章 数字滤波,数字滤波与模拟滤波数字滤波器的分类与实现维纳滤波概述反滤波概述同态滤波与时谱技术概述思考题（作业）,7-1 数字滤波与模拟滤波,一、概述数字滤波器的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形(或频谱)进行加工处理，或者说利用数字方法按预定要求对信号进行变换，把输入序列x(n)变换成一定的输出序列y(n)，从而达到改变信号频谱的目的。从广义讲，数字滤波是由计算机程序来实现的，是具有某种算法的数字处理过程。数字滤波的滤波系统一般包含了采样、数字滤波、数模转换以及模拟滤波等。,7-1 数字滤波与模拟滤波,二、数字滤波过程的频谱分析,图中表示信号通过滤波系统时的频谱变化情况。若输入信
2、号为x(t)，其频谱为X()，且已知其频宽为m。在满足采样定理的条件下进行A/D转换，则采样信号的频谱：,其中采样频率s2m。显然这是一个以s为周期的谱图。当通过数字滤波器以后，其频谱应为：,式中H(e j)是数字滤波器的频响函数。显然，信号通过数字滤波以后，仍然是一个周期谱图。为此，经过D/A转换以后，仍须采用模拟滤波。,7-1 数字滤波与模拟滤波,若模拟滤波器的频响函数为G()，则输出信号y(t)的频谱：,由于s2m，因而X(e j)是X()以s为周期而重复，且不产生混叠效应的函数。若模拟滤波器是一个理想低通滤波器，即：,其中，mc(s-m)，则可以从y(n)的周期性频谱中选出频谱Y()，
3、以恢复出连续信号y(t)。,于是有：,此式表明，数字滤波器的频率响应H(ej)起着对输入连续信号x(t)的频谱进行滤波改造的作用。,7-1 数字滤波与模拟滤波,三、数字滤波器与模拟滤波器对比数字滤波器与模拟滤波器相比，它们的作用相同，而分析方法不同。数字滤波器的数学模型为差分方程式，运算内容为延时、乘法、加法运算。构成数字滤波器的元器件为加法器、乘法器、延时器等。而模拟滤波器的数学模型为微分方程式，运算内容则为微(积)分、乘法、加法。构成模拟滤波器的元器件为电阻、电容、运算放大器等。数字滤波可用软件或硬件实现。软件实现方法是按照差分方程式或框图所表示的输出与输入序列的关系，编制计算机程序，在通
4、用计算机上实现；硬件实现方法是把用数字电路制成的加法器、乘法器、延时器等，按框图加以联接，构成运算器，即数字滤波器来实现。数字滤波器的应用与模拟滤波器的相类同，除用来对信息作处理加工外，还用来作抗干扰滤波器，以及对信号限带需要的低通、高通、带通以及带阻滤波器，还可用于各种校正环节的反滤波器等。,7-1 数字滤波与模拟滤波,一阶低通模拟滤波器电路的微分方程式为：,如果对激励信号x(t)和响应信号y(t)离散化，并且采样间隔T(或t)足够小，则有：,于是有,令T=1，则有：,即：,或：,此式是由一阶微分方程式导出的一阶差分方程式，它表明了模拟系统动态方程的近似方程可以用差分方程来描述。同样亦可导出
5、任意阶次的差分方程式,7-2 数字滤波的分类与实现,一、数字滤波器的分类按信号通过滤波器的频率响应特性分低通、高通、带通、带阻滤波器按单位样值响应h(t)的时间特性分无限冲激响应、有限冲激响应滤波器按可实现滤波方法分递归滤波器、非递归滤波器1、无限冲激响应滤波器，简称IIR当系统输入为单位样值函数(n)时，其响应h(n)包含无限个非零值，持续时间无限长，即,7-2 数字滤波的分类与实现,2、有限冲激响应滤波器，简称FIR当系统输入为单位样值函数(n)时，其响应h(n)只包含有限个非零值，即,7-2 数字滤波的分类与实现,3、递归滤波器其输出值y(n)不仅取决于输入值（包括即时输入和过去输入）x
6、(n)，x(n-1)，x(n-2)，而且取决于以前的输出值y(n-1)，y(n-2)，其差分方程为,对应的系统函数：,这种滤波器的系统函数一般包含零点和极点。由于这种系统含有反馈环路，所以系统在一定条件下才稳定，并且单位样值响应h(n)通常是无限长的，所以其递归式滤波器一般属于IIR型滤波器。,7-2 数字滤波的分类与实现,4、非递归滤波器非递归滤波器的输出值y(n)只与输入值x(n)，x(n-1)，x(n-2)，有关。其差分方程为,对应的系统函数：,这种滤波器的系统函数H(z)除z=0点外，只有零点，没有极点，它属于全零点数字滤波器，所以这个系统是稳定的。因为,比较,得非递归数字滤波器的单位
7、样值响应为：,可见，非递归数字滤波器的单位样值响应等于差分方程的系数，因此这种滤波器属于FIR滤波器。,7-2 数字滤波的分类与实现,二、数字滤波器的实现数字滤波器是一种完成给定运算的数字计算器，可用两种方法实现：数字信号处理机：用数字硬件装配成的专用设备使用通用计算机：将所需的计算编成程序，用软件实现,若数字滤波器的系统函数，即滤波器传递函数为：,则其所表达的运算可用差分方程表示：,其运算过程可用硬件或软件实现。,7-2 数字滤波的分类与实现,7-3 维纳滤波概述,维纳滤波是利用最小平方滤波原理实现剔除噪声的一种滤波方法。设滤波器输入为x(n)=s(n)+n(n)，其中s(n)为源信号，n(
8、n)为干扰噪声，且s(n)与n(n)不相关，维纳滤波器的期望输出为源信号本身，即z(n)=s(n)。若以滤波器实际输出y(n)与理想输出z(n)的均方误差Q最小为原则，则可推导出维纳滤波器的频率响应函数为：,其中Rs、Rn分别表示源信号s(n)和干扰噪声n(n)的自功率谱。具有这一频率响应函数的滤波器称为维纳滤波器或最小平方滤波器。均方误差Q可用下式计算：,7-3 维纳滤波概述,7-4 反滤波概述,工程实践中，信号的干扰形式多种多样，干扰的机理和影响方式亦不相同。若信号和噪声的频谱是分离的，则可通过低通、高通、带通滤波器分离噪声，反之则不然。在某些情况下（如大礼堂内的声音，由于墙壁多次反射而造
9、成回声交混，形成一片轰鸣声）所录取的信号，可以认为是原始信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，可采用反滤波方法使真正的源信号从干扰中恢复出来。设信号序列为s(n)，经过延迟n0，其一次回声序列为rs(n-n0)，二次回声序列为r2s(n-2n0)，三次回声序列为r3s(n-3n0)等等。其中r为反射因子，|r|=1。因此，滤波器的输入x(n)应当是信号序列与回声序列的叠加，即：,根据此式，可求得滤波器传输函数（两边同时取z变换）,此即为解决上述问题的滤波器传输函数,7-4 反滤波概述,z变换：与拉氏变换类似，在拉氏变换中，用z = e s代替s即可。它一般用于离散时间系统。其变换式
10、为：,7-5 同态滤波与时谱技术概述,前面所介绍的滤波方法，是针对线性非时变系统而言的。由于线性非时变系统具有叠加特性，若线性组合的各信号分量的频谱占据不同的频段，就可采用前面介绍的线性滤波方法将其分离。实际应用中，还经常碰到不属于线性相加组合的信号，如相乘性或卷积性组合的信号，单纯靠线性滤波器来分离或处理这些信号分量，就无法达到预期的效果，这时，必须求助于非线性滤波。有一类特殊的非线性系统，它遵从广义的叠加原理。在代数上，这类系统用输入与输出的矢量空间之间的线性变换来表征，称为同态系统。在语言、图象、雷达、声纳、地震以及振动工程等领域里，广泛存在着乘积性和卷积性的信号，对于这类组合信号，需要
11、用同态系统进行滤波处理。,7-5 同态滤波与时谱技术概述,一、解乘积同态滤波系统,实际中往往会遇到两个或多个分量相乘的信号。如在有衰落的传输信道中，可以把衰落效应看作是一个缓变分量与被传输信号相乘的结果；又如，在齿轮啮合振动中，由于齿轮偏心、转速不均匀等，都会产生调幅现象，即时域信号相乘的现象。,设：,取对数：,这样，相乘关系变成了相加关系，可借助于线性滤波方法处理,简记为：,7-5 同态滤波与时谱技术概述,二、解卷积同态滤波系统,卷积性组合也是经常遇到的一种信号形式。如机器的振动响应或噪声等，都可视为由振源或声源与传输通道的冲激响应的卷积。分离这些信号分量即为解卷积，卷积同态滤波即为解卷积方
12、法之一。,设：,解卷积同态滤波系统的规范形式如下图所示，它包含了特征系统D*、线性系统L、逆特征系统D*-1。,7-5 同态滤波与时谱技术概述,特征系统D*：将卷积性组合输入变成线性组合输出,a)把Z变换看作从卷积到乘积的同态变换,b)用Z变换表示信号同态滤波的规范形式,c)特征系统D*的表示,7-5 同态滤波与时谱技术概述,线性系统L：完成同态系统的滤波作用逆特征系统D*-1：完成特征系统D*的逆运算,7-5 同态滤波与时谱技术概述,(a)记录到的地震信号；(b)地震信号的复时谱(c)同态解卷积后所得到的地震主波波形,7-5 同态滤波与时谱技术概述,三、时谱技术前面简单介绍了卷积同态滤波系统
13、，其特征系统的输出 称为输入x(n)的复时谱。卷积同态系统的关键就在于通过特征系统的同态变换，把卷积组合的几个分量变换为各分量的复时谱之和，所以，一般把这种方法称为时谱技术。时谱技术也称为二次谱分析，包括复时谱和功率时谱分析这两种主要形式。,其中c为在 的收敛域上的闭合回线。在实际应用中，输入信号序列x(n)往往是实的，而且也希望它的复时谱也是实的。,1、复时谱序列x(n)的复时谱定义为x(n)的Z变换的复对数的逆变换，它仍是一个在时域上的离散序列。,7-5 同态滤波与时谱技术概述,从复时谱的定义可以看到， 是x(n)从时域至频域、频域至频域、频域至时域的三次映射。虽然映射回到时域，但是由于在
14、频域上作了一次单向的非线性变换-复对数变换，所以 仅仅是x(n)的三次映射，而不等于x(n)本身。这样做的目的，是为了在复时谱的时域n上用线性系统的方法作分离和滤波，因此，卷积同态滤波又称为复时谱滤波。,7-5 同态滤波与时谱技术概述,2、功时谱,功时谱也是卷积同态滤波的方法之一，可以对卷积进行分解，从而通过测得的响应特性识别源特性或系统的传输特性。可用于多路回声检测，振动和噪声源识别，机械结构系统动态特性识别，机械故障诊断与预报，以及地震分析等方面。,定义：,功时谱和复时谱的关系：,7-5 同态滤波与时谱技术概述,3、倒频谱,以傅里叶变换为基础讨论功时谱，则功时谱的表达式为：,故而功时谱可称
15、作是“对数功率谱的功率谱”。工程上常用到上两式的平方根，称之为幅值功时谱，或幅值倒频谱。,由于自功率谱Sx (f )是一个实偶函数，自功率谱的对数也是一个实偶函数，故其正变换和逆变换相等，并且也是一个实偶函数，因此，上式与下式等价：,倒频谱中的自变量q称为倒频率，它具有时间量纲。,7-5 同态滤波与时谱技术概述,左图表示输出、输出和系统影响的对数功率谱及其对应的倒频谱图。可以看出，功率谱由两部分组成：其一是logSx(f)，是输入信号的谱，有明显的周期性，频率间隔为f；其二是缓变的中线，是系统的影响log|H(f )|2。倒频谱有两个明显的波峰，高倒频率q2=1/f表示了输入信号的特征；低倒频率q1表示了系统的影响。显然，在倒频图中，输入与系统响应是一种可分离的叠加性图形，这为分解或判定其中任一分量提供了先决条件,思考题（作业）,1、名词解释：维纳滤波器，反滤波、同态滤波。2、在齿轮啮合振动中，由于齿轮偏心、转速不均匀等，都会产生调幅现象，怎样实现这类信号的解调。3、怎样分离机器振动响应中的振源信号与传输通道的冲激响应。,
