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1、第六章 圆,第22讲 圆的基本性质,考点1 圆的有关概念与圆的对称性,1圆的有关概念 (1)圆:圆是到定点的距离等于定长的点的集合;这个 叫做圆心,这个 叫做半径;圆心确定了圆的位置,半径确定了圆的大小 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做弦;小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧 (3)弦:连接圆上两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最大的弦 (4)圆心角:顶点在 的角叫做圆心角 (5)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角 (6)等圆:半径 的圆叫做等圆 (7)等弧:在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧 (8)弦心距:圆心到弦的 叫做弦心距,定点,定长,圆心,相等
2、,距离,2圆的基本性质 (1)同圆或等圆的半径 (2)圆的直径等于同圆或等圆半径的 倍 (3)圆既是中心对称图形,圆心是对称中心,也是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴,还是旋转对称图形,绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合,3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等 (2)推论:在同圆或等圆中,圆心角相等,弦相等,弦的弦心距相等,弦对的弧相等,如果以上四条中有一条成立,那么另外三条也成立,4垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 (2)垂径定理的推论: a圆的两条平行弦所
3、夹的弧相等 b一条直线如果具有:经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的弧这四条中有两条成立,则这条直线也满足其余的两条,相等,2,考点2 圆周角定理及推论,1圆周角定理 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 (2)圆周角定理和推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆,2圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角 ;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(相邻的内角的对角),点拨“圆的有关性质”常作为辅助线:有弦时,过圆心作弦的垂线段,过弦的一个端点作半径,这样由“弦的一半、表
4、示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形 有直径时,作出这条直径所对的圆周角,这个圆周角是直角;如果有圆周角是直角,作出它所对的弦,这条弦就是直径,归纳垂径定理及其推论是证明两线段相等,两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一,在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段,构造直角三角形,一半,互补,命题点 圆周角定理及推论,命题趋势圆的基本性质是安徽中考重点,命题角度:1.综合利用垂径定理,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理,直径所对的圆周角为直角,等腰三角形性质、全等或相似三角形的判定和性质、勾股定理等来进行有关圆的半径和弦的计算.2.综合运用圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、
5、平行四边形的性质及平行线的性质进行与圆有关的角度的计算 预测2019年将会考查有关圆的基本性质应用的解答题,12016安徽,T10,4分如图,,RtABC中,ABBC,AB6,BC4. P是ABC内部的一个动点,且满足PABPBC.则线段CP长的最小值为( ) A. B2 C. D.,B,22018安徽,T20,10分如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法) (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长,规范解答:,(1)如图,AE为所作(4分) (2)如图,连接OE交BC于点F,连接OC,E
6、C. AE平分BAC, BAECAE, BECE ,OEBC. EF3,OF532. 在RtOCF中,CF . 在RtCEF中,CE . (10分),32017安徽,T20,10分如图,在四边形ABCD中,ADBC,BD,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.,(1)求证:四边形AECD为平行四边形;,(2)连接CO,求证:CO平分BCE.,解:(1)证明:根据圆周角定理知EB. 又BD, ED. ADCE, DDCE180. EDCE180.AEDC. 四边形AECD为平行四边形,(2)证明:如图,连接OE,OB.,由(1),得四边形AECD为平行四边形, A
7、DEC. ADBC,ECBC. OCOC,OEOB, OCEOCB(SSS) ECOBCO,即CO平分BCE.,42014安徽,T19,10分如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与O的交点若OE4,OF6,求O的半径和CD的长,解:OC为小圆的直径, OFC90,即OFCD. CFDF. 又OEAB, OEFOFC90. FOECOF, OEFOFC. . OC 9. 在RtOFC中,CF , CD2CF .,类型1 垂径定理,解题要领一般思维模式是作弦心距、连半径等辅助线,构造直角三角形,利用垂径定理以及勾股定理求弦长、半径、弦
8、心距或弓高(这四个数量中,已知两个数量求另两个数量),12018安顺已知O的直径CD10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB8cm,则AC的长为( ) A2 cm B4 cm C2 cm或4 cm D2 cm或4 cm,C,2. 2018衢州如图,AC是O的直径,弦BDAO于E,连接BC,过点O作OFBC于F,若BD8cm,AE2cm,则OF的长度是( ),A3cm B. cm C2.5cm D. cm,32018孝感已知O的半径为10cm,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB16cm,CD12cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm.,D,2或14,类型2 圆心角、弧、弦之间的关系
9、,4如图,在O中,A,C,D,B是O上四点,OC,OD分别交AB于点E,F,且AEBF.下列结论不正确的是( ) AOEOF B. ACBD CACCDDB DCDAB,解题要领圆心角、弧、弦之间的关系定理,提供了从圆心角到弧到弦的转化方式,为证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路,解题时要根据具体条件灵活选择应用,52018双清模拟 如图,矩形ABCD的顶点A,B在圆上,BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是AF的三等分点(AGGF),BG交AF于点H,若AB的度数为30,则GHF等于( ),A40 B45 C55 D80,C,A,类型3 圆周角定理,6. 2018陕西如图,ABC是O的
10、内接三角形,ABAC,BCA65,作CDAB,并与O相交于点D,连接BD,则DBC的大小为( ) A15 B35 C25 D45,解题要领在同圆中,注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化;圆的直径与直径所对的圆周角为直角的转化;如果题干中无对应图形时,避免遗漏符合条件的图形的其他情形,A,72018威海如图,O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若ABC30,则弦AB的长为( ) A. B5 C. D,82018白银如图,A过点O(0,0),C( ,0),D(0,1),点B是 x 轴下方A上的一点,连接BO,BD,则OBD的度数是( ) A15 B30 C45 D60,D,B,类型4
11、 圆的确定,9. 2018烟台如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 ,解题要领三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心,即三角形外接圆的圆心;三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等;确定三角形的外心,只需作三角形两条边的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为三角形的外心,(1,2),102018内江已知ABC的三边a,b,c,满足ab2|c6|28 10b,则ABC的外接圆半径 ,类型5 圆内接四边形的性质,11. 2018邵阳如图所示,四边形ABC
12、D为O的内接四边形,BCD120,则BOD的大小是( ) A80 B120 C100 D90,解题要领圆内接四边形经常与圆周角定理结合考查,注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,B,122018济宁如图,点B,C,D在O上,若BCD130,则BOD的度数是( ) A50 B60 C80 D100,132019预测如图,四边形ABCD内接于O,F是CD上一点,且DFBC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若ABC105,BAC25,则E的度数为 ,D,50,类型6 圆的最值问题,142018安徽四模如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且
13、ACB30,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与O交于G,H两点,若O的半径为6,则GEFH的最大值为( ) A6 B9 C10 D12,152018宜宾在ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE4,EF3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2PG2的最小值为( ) A. B. C34 D10,D,B,类型7 与圆的基本性质相关的探究问题,162019预测如图,点B,C为O上两动点,过点B作BEAC,交O于点E,点D为射线BC上一动点,且AC平分BAD,连接CE. (1)求证:ADEC;,解:(
14、1)证明:AC平分BAD, BACDAC. EBAC, EDAC. BEAC, EACE, ACEDAC, ADEC.,(2)当四边形EBCA是矩形时,ACB90,即ACBD. ACBACD90. BACDAC, ABDD, ABAD. 又ACBD, BCCD6. 故答案为:6.,(2)连接EA,若BC6,则当CD_时,四边形EBCA是矩形,17如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径COAO,点M是AB上的动点,且不与点A、C、B重合,直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM. (1)若半圆的半径为10. 当AOM60时,求DM的长; 当AM12时,求DM的长,解:(1)当AOM60时, OMOA,AMO是等边三角形, AMOA60, MOD