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1、,材 料 力 学,第九章 压杆稳定,2019年7月10日,9-5 压杆的稳定校核,本 章 内 容,9-1 压杆稳定的概念,引例,一根长为150 mm的钢尺，横截面尺寸为20 mm0.5 mm，弹性模量E=210 GPa，屈服极限为s=390 MPa，若取钢尺竖放在桌面上，用手向下施加轴向压力。试求其临界压力 Fcr 。,按稳定理论计算,按强度理论计算，钢尺屈服时的屈服压力：,屈服压力是临界压力的203倍，屈服压力远大于临界压力，因此对于细长压杆，只考虑强度破坏是远远不够的。,为什么呢？,一、稳定性的基本概念,（1）平衡的稳定性,a. 合力FR指向平衡位置,稳定平衡,b. FR为0,c. FR离
2、开平衡位置,不稳定平衡,临界(随遇)平衡,(2) 压杆稳定性,F Fcr 不稳定平衡 F Fcr 临界状态,临界载荷 Fcr: 使压杆直线形式的平衡，开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值,F Fcr 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳 F Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡,（3）其他形式的稳定问题,风洞颤振试验照片,二、工程实例,自卸车的液压顶杆,液压顶杆,火车卧铺的撑杆,9-2 两端铰支细长压杆的临界压力,x截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,（a）,(b)式的通解为,（A、B为积分常数）,附：求二阶常系数齐次微分方程的通解,特征方程为,特征方程为,有两个共轭复根,本问题：,因此
3、通解为：,边界条件,由公式(c),因A0，故有,令 n = 1, 得,欧拉公式,挠曲线方程：略（自学）不要求, 两端绞支, 一端固定,一端铰支,C 为拐点,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力, 两端固定, 一端固定 一端自由,欧拉公式 的统一形式,长度系数，约束方式对临界载荷的影响,l相当长度，相当两端铰支压杆的长度,杆端约束刚度越强， 越小，临界载荷越大。,常见杆端约束的长度系数如下表。,l,l,两端铰支,一端固定,一端自由,一端固定,一端铰支,两端固定,l,约束情况,长度系数,压杆形状,l,1.3l,1.7l,2l,（a）,（b）,（c）,【例9-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截
4、面细长压杆，哪个临界力最大。,【解】,（d）杆临界力最大。,（d）,一、临界应力,欧拉公式临界应力,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式, 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,二、 欧拉公式的应用范围,欧拉公式的适用范围： cr P,或,令,欧拉公式的适用范围可表为, 1,大柔度杆或细长压杆）,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式。 此时需用经验公式,1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206 GPa，P=200 MPa，得,三. 常用
5、的经验公式,式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出。,2 是对应 直线公式 的最低线。,直线型经验公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式,或,令,还有其他形式的经验公式,读者可参阅相关书籍。,当小于某临界值，压杆不会弯曲，成为强度问题，因此,大柔度杆,四. 压杆的分类及临界应力总图,1、压杆的分类,中柔度杆,小柔度杆 2,2、临界应力总图,【例9-2】图示圆截面压杆，d=100 mm，E=200 GPa，P=200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。,l,P,d,【解】,稳定性条件,计算步骤,计算最大的柔度系数 max (2) 根据max 选择公式计算临界应力 (3)
6、根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,一、安全系数法,9-5 压杆的稳定校核,将强度许用应力乘以折减系数 ，得到稳定安全系数,稳定条件可写为,即,式中 称为稳定系数，或折减系数。,稳定系数与压杆的材料、柔度有关。各种材料的稳定系数可查表获得。,二、折减系数法,【例9-3】 活塞杆由45号钢制成，S = 350 MPa ， P = 280 MPa， E=210 GPa 。长度 l = 703 mm ，直径 d=45 mm 。最大压力 Fmax = 41.6kN 。规定稳定安全系数为 nSt = 810 。试校核 其稳定性。,活塞杆两端简化成铰支, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算
7、临界压力。,【解】,如用直线公式，需查表得：,a= 461MPa,b= 2.568 MPa,临界压力是,活塞的工作安全系数,所以满足稳定性要求。,【例9-4】 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2 MPa。 活塞杆长度 L =1250mm，材料为35钢，S =220 MPa， E = 210 GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。,活塞杆承受的轴向压力应为,由稳定条件有,【解】,因此,用试算法求直径,（1）先由 欧拉公式 求直径,求得 d = 24.6 mm。,取 d = 25 mm,把活塞的两端 简化为铰支座。,（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于 1，所以前面用欧拉公式
8、进行试算是正确的。,【例9-5】 AB的直径 d=40mm，长 l=800 mm，两端可视为铰支。材料为Q235钢，弹性模量 E=200 GPa。比例极限P =200 MPa，屈服极限 S =240 MPa，由AB杆的稳定条件求临界载荷。（若用直线公式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa ）。,取 BC 研究,FN,【解】,用直线公式,得 F =118kN,不能用欧拉公式,已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, E205 GPa, FP150 kN, nst=1.8。校核:稳定性是否安全。,【例9-6】,【解】,工作安全因数 ：,稳定性是安全的
9、。,提高压杆稳定性的措施主要有:,减少杆件的计算长度； 增强约束的牢固性； 选用合理的截面形状； 合理选用材料,9-6 提高压杆稳定性的措施,1、减少杆件的计算长度:,大柔度压杆的临界压力与杆长的平方成反比，在可能的情况下，应通过改变结构或者增加支座来减少计算杆长，从而达到显著提高压杆承载能力的目的。,2、增强约束的牢固性:,支座对于压杆的约束作用越强，则压杆的长度因数越小，压杆的临界压力就越大。若将一端固定一端自由的压杆改变为一端固定一端铰支的压杆，则大柔度压杆的临界应力将是原来的8.16倍。,3、选用合理的截面形状:,尽可能把材料放在离截面形心较远处，可以取得较大的惯性矩和惯性半径，就等于提高了临界压力。此外，应尽量使两个方向的柔度相等。,4、合理选用材料:,对于大柔度杆，材料对临界压力的影响仅限于弹性模量 ，而各种钢材的 值很接近，因此选用高强度钢、合金钢等并不能比用普通碳钢更有效地提高压杆的稳定性。而对于中、小柔度杆，其临界应力与材料的强度有关（参考a/b参数表），选用优质钢材自然可以提高压杆的承载能力。,本章要点,柔度,1）大柔度杆,2）中柔度杆,3）小柔度杆 ( 2),圆截面,稳定性条件,谢谢听讲,
