《信号与系统 高职通信类 孙鹏娇第4章 连续信号与系统的频域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 高职通信类 孙鹏娇第4章 连续信号与系统的频域分析（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 章 连续信号与系统的频域分析,第4章 连续信号与系统的频域分析,周期信号的连续时间傅里叶级数 周期信号的频谱 周期信号频谱分析的MATLAB实现 非周期信号的连续时间傅里叶变换 非周期信号频域分析的MATLAB实现 傅里叶变换的性质,本章提要,周期信号的傅里叶变换 连续系统的频域分析 用MATLAB实现连续系统的频域分析 无失真传输条件 理想低通滤波器的特性 连续信号的抽样定理,引言,频域分析：傅里叶变换将时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数（ ， ）或虚指函数 之和，用于系统分析的独立变量就由时间变量变换为频率变量，故称为频域分析。,时域分析：以冲激函数为基本信号，任意激励可分解为
2、一系列冲激函数，系统的零状态响应就是激励 与系统冲激响应 的卷积积分。,周期信号的连续时间傅里叶级数,由数学分析可知，满足狄利克雷条件的周期信号在区间 可以展开成在完备正交函数空间的无穷级数。,狄利克雷条件为： （1）在一个周期内函数连续或有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。 电子技术中的周期信号大都满足该条件,三角形式的傅里叶级数,周期为 的周期信号 ， 为基波角频率 ，其三角形式的傅里叶级数 ： 傅里叶系数,是 的偶函数， 是 的奇函数。,注意：积分区间只要是一个周期就可。,三角形式的傅里叶级数,是 的偶函数， 是 的奇函数。,将上式同频率项合并，可写为
3、 式中,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。,三角形式的傅里叶级数,例4-1 将下图所示的方波信号 展开为三角形式傅里叶级数。,三角形式的傅里叶级数,解 取积分区间 ，,三角形式的傅里叶级数,三角形式的傅里叶级数,奇、偶函数的傅里叶级数：,是偶函数时， 是 的偶函数， 是 的奇函数，有 ， ； 是奇函数时， 是 的奇函数， 是 的偶函数，有 ， ； 是奇谐函数，即 时， 的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波分量； 是偶谐函数，即 时，的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波分量。,指数形式的傅里叶级数,利用 ，考虑到 、 ，可得到指数形式的傅里叶级数。,，,指数形式的傅里叶级数,复数 ，称为复傅里叶系
4、数，简称傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为,注意：三角形式傅里叶级数与指数形式傅里叶级数虽然形式不同，但都是将信号表示成直流分量和各次谐波分量的和的形式。,指数形式的傅里叶级数,例4-2 求例4-1中周期信号的指数形式傅里叶级数,周期信号的频谱,信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将 和 的关系分别画在以 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画 和 的关系，称为双边谱。若 为实数，也可
5、直接画 。,周期信号的频谱,例4-3 ，试画出的幅度谱和相位谱。,解： 为周期信号，基波角频率 。题目中给出的的表达式可以看做的指数形式傅里叶级数，故有,周期信号的频谱,单边频谱图和双边频谱图,周期信号频谱的特点,以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号频谱的特点,周期信号频谱的特点,称为取样函数，则,的变化规律应符合 的变化规律，即时， ；频率 的谱线为零。 时，频谱如图所示,周期信号频谱的特点,周期信号频谱具有如下特点： （1）离散性； （2）谐波性； （3）收敛性。,周期信号频谱的特点,谱线的结构与波形参数的关系： （1）周期 不变时，谱线间距 不变，此时， 减小，各次谐波分量的振幅减小，在
6、 这段频率范围（称为频带宽度）内包含的谱线越多 ； （2）脉冲宽度 不变时，周期 变大，则谱线间距 变小，谱线变密，各次谐波分量的振幅减小。 周期信号趋于单脉冲非周期信号，各次谐波分量的振幅趋于零，谱线无限密集，离散谱成为连续谱。,周期信号的功率,周期信号是功率信号，将其在1 电阻上消耗的平均功率称为归一化平均功率。如果周期信号是实函数，则平均功率为,将 表示成傅里叶级数带入上式，得,上式称为帕塞瓦尔恒等式，表明了周期信号的平均功率等于各频率分量的功率之和，即周期信号在时域和频域的能量是守恒的。,周期信号频谱分析的MATLAB实现,例4-4 设周期信号（某电路电压、电流） 如下，求该周期信 号
7、的频谱,其中 为基波角频率， 为信号周期。,周期信号频谱分析的MATLAB实现,解：,则总功率有效值为,各分功率有效值为,误差为,建模,令,周期信号频谱分析的MATLAB实现,MATLAB程序演示,clc %清屏 Um=100; T=0.02; w=2*pi*50; %详见中取值 N=input(输入谐波次数N= ); %取得谐波次数决定所分段数，次数 越高，分段数越高 t=linspace(-T/2,T/2); dt=T/99; %取100个采样点 u=Um*abs(sin(w*t); %在一个周期内产生两个半波 for k=0:N a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t)*dt
8、/T*2;,周期信号频谱分析的MATLAB实现,b(k+1)=trapz(u.*sin(k*w*t)*dt/T*2; A(k+1)=sqrt(a(k+1)2+b(k+1)2); end 0:N,A(1)/2,A(2:end); %显示傅立叶分量，恢复与k对应的关系值 stem(0:N,A(1)/2,A(2:end) %将对应关系绘制成图形 Us11=sqrt(trapz(u.2)*dt/T) %总功率有效值 Us12=sqrt(A(1)2/4+sum(A(2:end).2/2) %各分功率有效值 e=(Us11-Us12)/Us11 %误差,周期信号频谱分析的MATLAB实现,程序运行结果,输
9、入谐波次数N= 16，回车， 程序运行结果如下：（根据用户需要可以输入其他谐波次数）,各傅立叶分量对应的k值,非周期信号的连续时间傅里叶变换,当 时，周期信号趋于非周期信号，谱线无限密集，离散谱成为连续谱，各次谐波分量的振幅趋于零，故利用傅里叶级数无法分析非周期信号的频谱。为了表示非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念。,周期信号,复振幅,非周期信号的连续时间傅里叶变换,当 时，,傅里叶正变换,傅里叶逆变换,非周期信号的连续时间傅里叶变换,可以记为 或,非周期信号的连续时间傅里叶变换,存在傅里叶变换的充分但非必要条件,利用傅里叶变换公式可以方便地求出：,典型信号的傅里叶变换,（一）矩形脉
10、冲信号（门函数）,（二）单边指数函数,典型信号的傅里叶变换,（三）双边指数函数,（四）冲激函数及其导数,典型信号的傅里叶变换,（五）单位直流信号,即单位直流信号的频谱是冲激函数，其强度为,典型信号的傅里叶变换,典型信号的傅里叶变换,（六）符号函数,可以看作是 （ ）当 时的极限。,典型信号的傅里叶变换,（七）单位阶跃函数,单位阶跃函数不满足绝对可积条件，不能直接用傅里 叶变换公式求其频谱函数,非周期信号的频谱函数,非周期信号的频谱函数,当 为实函数时，可以得到以下结论：,（1）,（2） ，其中 是 的共轭函数；,（3）若 ，则 的频谱函数 是 的实函数，且是 的偶函数，即 ， ；,（4）若 ，
11、则 的频谱函数 是 的虚函数，且是 的奇函数，即 ， 。,非周期信号的频谱函数,当 为虚函数时，可以得到以下结论：,（1）,（2） ，其中 是 的共轭函数；,（3）若 ，则 的频谱函数 是 的虚函数，且是 的偶函数，即 ， ；,（4）若 ，则 的频谱函数 是 的实函数，且是 的奇函数，即 ， 。,非周期信号频域分析的MATLAB实现,例5 设非周期信号（方波） 如下，用MATLAB求该信 号在 的频谱。,方波信号,解：,这里我们取,建模 通过傅立叶变换得出非周期信号频谱公式如下：,非周期信号频域分析的MATLAB实现,MATLAB程序演示,tf=10; N=input(输入时间分割点数目：N=
12、 ) dt=10/N;t=1:N*dt; %对所取时间进行分割 f=ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %产生方波信号图 w1=input(输入频谱宽度：w1= ) n1=input(输入频谱点数：n1= ) w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1); f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信号的傅立叶变换 w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信号的负频率 F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信号负频率的频谱 plot(w,abs(F),linewidth
13、,1.5),grid,非周期信号频域分析的MATLAB实现,非周期信号时域频谱图,程序运行结果,注意：这里频谱宽度和点数如果 取的不好会发生频率泄漏,输入时间分割点数目：N= 256 输入频谱宽度：w1= 40 输入频谱点数：n1= 64,傅里叶变换的性质,（一）线性,若 （ ），则对于任意常数 ，有,（二）对称性,若 ，则有,傅里叶变换对的两种函数是固定的，本性质为 和 的互求提供方便。,傅里叶变换的性质,例4.61 求 和 的频谱函数。,解：（1）,取 ， 门函数的幅度为 ，则由线性性质,（2）,傅里叶变换的性质,（三）时移性,若 ， 为实常数，则有,信号在时域中的延时和频域中的移相相对性，若 在时域中信号右移 ， 其频谱函数的幅度不变，而各 频率分量的相位比 各频率分量的相位滞后 。,傅里叶变换的性质,例4.62 求如图所示信号的频谱函数。,-1,-4,4,解：,由时移特性可知,傅里叶变换的性质,（四）频移性,若 ， 为实常数，则有,时,傅里叶变换的性质,（五）尺度变换,若 ， 为实常数（ ），则有,当 时，得到,由尺度变换特性可知， 时，信号在时域中 压缩，其频谱在频域中扩展，各分量的幅度降为原 来的 ，信号的持续时间与其频带宽度成反比
