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1、（2）当A的n个特征根相等时，满足：（321）证：下面只证明A有n个不相等特征根的情况。根据凯利哈密顿(CayleyHamilton)定理，方阵A满足其本身的特征方程，即：所以：也就是说，所有可以表示为线性代数和。将代入的定义式（37），经整理可得： （322）下面再求的关系式。因为A有n个不同的特征根，并设T为A的变换矩阵，则有： （323）代入（321）得： （324）又根据（312）式， 所以可得： （325） 即： 所以，（320）式得到证明。例35 已知，利用凯利哈密顿定理求。解： 根据（319）式代入（318）式得：性质12：矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得： （3-26）证：考虑
2、，在初始条件下的解：对两边取拉氏变换，得：两边取拉氏反变换，得：例36：利用拉氏反变换法求，其中。解： 3-3 线性连续定常非齐次状态方程求解线性定常非齐次状态方程为： (327)从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的作用下运动。要求系统在任意时刻的状态，就必须求解（327）。采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，（327）式可写成：两边同时左乘，得：根据矩阵微积分知识，上式进一步有：两边同时在区间积分，得：两边同时左乘，并整理得：即： （328）当初始时刻时，（328）变为： （329）从（328）和（329）可知，非齐次状态方程（327）的解由两部分组成，第一部分是在初始状
3、态作用下的自由运动，第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。当为几种典型的控制输入时，（329）有如下形式。1.脉冲信号输入 （330）2.阶跃信号输入 （331）3.斜坡信号输入求得： （332）例37 求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：解：已知，若初始条件为零，即则有 3-4 连续时间状态空间表达式的离散化数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。设连续系统动态方程为： （333）系统离散化的原则是：在每个采样时刻
4、，其中T为采样周期），系统离散化前后的保持不变。而采样的方法是在时刻对值采样得，并通过零阶保持器，使的值在时间段保持不变。根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为： （334）式中 ， 上述输出方程应该很容易理解，它表示时刻离散系统的输出和输入及其系统状态量的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出,。根据连续时间状态方程求解公式(3-27)，我们假设，并求时刻的状态，注意在时段不变：其中：，它只与采样周期T 有关令 ，则：时，时，它也只与采样周期T有关。我们忽略时刻中的符号，直接用代表时刻。所以我们有连续系统离散化公式： （335）其中：， 例38 试将下列状态方程离散化解：当时3-5 离散时间系统状态方程求解离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程： （336）依次取，得：当初始时刻为hT时，同理可推出：与连续时间系统方程解类似，记：或，称它们为离散系统的状态转移矩阵。所以离散系统的解可记为： （337）或 （338）
