《2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 1 离散型随机变量及其分布列 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 1 离散型随机变量及其分布列 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1离散型随机变量及其分布列 对应学生用书P20 离散型随机变量 (1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数 (2)在一块地里种下 10 颗树苗，成活的棵数 (3)一个袋中装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，所含红球的个数 问题 1：上述现象有何特点？ 提示：各现象的结果都可以用数表示 问题 2：现象(3)中红球的个数 x 取什么值？ 提示：x0,1,2,3,4. 问题 3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？ 提示：可以，如用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上 1随机变量 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个 随
2、机变量，通常用大写的英文字母 X，Y 来表示 2离散型随机变量 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型 随机变量. 离散型随机变量的分布列 1抛掷一枚均匀的骰子，用 X 表示骰子向上一面的点数 问题 1：X 的可能取值是什么？ 提示：X1,2,3,4,5,6. 问题 2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于 . 1 6 问题 3：试用表格表示 X 和 P 的对应关系 提示： X123456 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 问题 4：试求概率和 提示：其和等于 1. 1离散型随机变量的分布列的定义 设离散型随机变量 X 的取
3、值为 a1，a2，随机变量 X 取 ai的概率为 pi(i1,2，)，记 作： P(Xai)pi(i1,2，)，(1) 或把上式列成表 Xaia1a2 P(Xai)p1p2 上表或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列 2离散型随机变量的性质 (1)pi0；(2)p1p2p31. 1随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这 些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量 2判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一 一列出 3求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概 率 对应学生用书P21 随机变量的
4、概念 例 1 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验 的结果： (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中，任取 1 球，被取出的球的编号为 X； (2)一个袋中装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为 X； (3)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X. 思路点拨 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关 系 精解详析 (1)X 的可能取值为 1,2,3，10，Xk(k1,2，10)表示取出第 k 号 球 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.Xk 表示取出 k 个红球，(4k)个白球，其
5、中 k0,1,2,3,4. (3)X 的可能取值为 2,3,4，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得 i 点， 且骰子乙得 j 点，则 X2 表示(1,1)；X3 表示(1,2)，(2,1)；X4 表示(1,3)，(2,2)，(3,1)； ；X12 表示(6,6) 一点通 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值 时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不 要漏掉某些试验结果 1下列变量中属于离散型随机变量的有_ 在 2 014 张已编号的卡片(从 1 号到 2 014 号)中任取一张，被取出的编号数为 X； 连续不
6、断射击，首次命中目标需要的射击次数 X； 从 2 014 张已编号的卡片(从 1 号到 2 014 号)中任取 3 张，被取出的卡片的号数和 X； 某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差 X； 投掷一枚骰子，六面都刻有数字 6，所得的点数 X. 解析：中变量 X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变 量中 X 的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量中 X 的 取值确定，是 6，不是随机变量 答案： 2在 8 件产品中，有 3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取 次数为 X，则 X3 表示的试验结果是_ 解析：X3 表示前 2 次均
7、是正品，第 3 次是次品 答案：共抽取 3 次，前 2 次均是正品，第 3 次是次品 3抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 X，试求 X 的集合，并说明“X4”表示的试验结果 解：设第一枚骰子掷出的点数为 x，第二枚骰子掷出的点数为 y，其中 x，y1,2,3,4,5,6. 依题意得 Xxy. 则5X5， 即 X 的集合为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5 则 X4X5，表示 x6，y1， 即第一枚骰子掷出 6 点，第二枚骰子掷出 1 点 离散型随机变量分布列的性质 例 2 已知随机变量 X 的分布列： Xi12345 P(Xi) 1 10 3 10
8、 a 1 10 1 10 (1)求 a； (2)求 P(X4)，P(2X5) 思路点拨 (1)利用分布列中所有概率和为 1 的性质求解 (2)借助互斥事件概率求法求解 精解详析 (1)由a1， 1 10 3 10 1 10 1 10 得 a . 2 5 (2)P(X4)P(X4)P(X5) ， 1 10 1 10 1 5 P(2X5)P(X2)P(X3)P(X4) 3 10 2 5 1 10 . 4 5 一点通 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的 (2)p1p21，且 pi0，i1,2，. 4设随机变量 X 的分布列为 P(Xi)a i，i1,2
9、,3，则 a 的值为( ) ( 1 3) A1 B. 9 13 C. D. 11 13 27 13 解析：由分布列的性质，知 P(X1)P(X2)P(X3) a a 2a3 a1.a. 1 3 ( 1 3) ( 1 3) 13 27 27 13 答案：D 5设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)，k1,2,3,4.求： k 10 (1)P(X1 或 X2)； (2)P. ( 1 2 X 7 2) 解：P(Xk)，k1,2,3,4， k 10 (1)P(X1 或 X2)P(X1)P(X2) . 1 10 2 10 3 10 (2)P( 1 2 X 7 2) P(X1 或 X2 或 X3) 1P(
10、X4)1 . 4 10 6 10 3 5 离散型随机变量的分布列 例 3 (10 分)袋中装有编号为 16 的同样大小的 6 个球，现从袋中随机取 3 个球， 设 X 表示取出 3 个球中的最大号码，求 X 的分布列 思路点拨 先确定 X 的所有可能取值，然后分别求出 X 取各值时的概率即可 精解详析 根据题意，随机变量 X 的所有可能取值为 3,4,5,6. X3，即取出的 3 个球中最大号码为 3，其他 2 个球的号码为 1,2.所以，P(X3) ；(2 分) C2 2 C3 6 1 20 X4，即取出的 3 个球中最大号码为 4，其他 2 个球只能在号码为 1,2,3 的 3 个球中 取
11、 所以，P(X4)；(4 分) C2 3 C3 6 3 20 X5，即取出的 3 个球中最大号码为 5，其他 2 个球只能在号码为 1,2,3,4 的 4 个球中 取 所以，P(X5)；(6 分) C2 4 C3 6 3 10 X6，即取出的 3 个球中最大号码为 6，其他 2 个球只能在号码为 1,2,3,4,5 的 5 个球 中取 所以，P(X6) .(8 分) C2 5 C3 6 1 2 所以，随机变量 X 的分布列为 Xxi3456 P(Xxi) 1 20 3 20 3 10 1 2 (10 分) 一点通 (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量 X 取每一个值时 对应的
12、随机事件，然后利用排列组合知识求出 X 取每个值的概率，最后列出分布列 (2)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤：首先确定 X 的所有可能的取值；其次，求相 应的概率 P(Xxi)pi；最后列成表格的形式 6在射击的试验中，令 XError!Error!如果射中的概率为 0.8，求随机变量 X 的分布列 解：由 P(X1)0.8，得 P(X0)0.2.所以 X 的分布列为： Xxi1 0 P(Xxi)0.8 0.2 7(天津高考改编)一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张， 编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任
13、何一张卡片 的可能性相同) (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列 解：(1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A，则 P(A) . C1 2C3 5C2 2C2 5 C4 7 6 7 所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 . 6 7 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X1)，P(X2)， C3 3 C4 7 1 35 C3 4 C4 7 4 35 P(X3) ，P(X4) . C3 5 C4 7 2 7 C3
14、6 C4 7 4 7 所以随机变量 X 的分布列为 X1234 P 1 35 4 35 2 7 4 7 8(湖南高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机 收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件17 件及以上 顾客数(人)x3025y10 结算时间 (分钟/人) 11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)求 x，y 的值； (2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列 解： (1)由已知得 25y1055
15、，x3045，所以 x15，y20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X1)，P(X1.5)， 15 100 3 20 30 100 3 10 P(X2) ，P(X2.5) ， 25 100 1 4 20 100 1 5 P(X3). 10 100 1 10 X 的分布列为 X11.522.53 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 1随机变量 X 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变 量 X 的线性组合 YaXb(a，b 是常数)也是随机变量 2离散型随机变量 X 的分布列实质上就是随机变量 X 与这一变量所对应的概率 P 的 分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规 律 对应课时跟踪训练九 1一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球， 下列变量是离散型随机变量的
