《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 2.3.1 圆的标准方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 2.3.1 圆的标准方程 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、23.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程思考1确定圆的标准方程需要知道哪些条件？思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？梳理圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径
2、r2是什么关系？梳理点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)2r2类型一求圆的标准方程例1(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的标准方程为_(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_反思与感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程(2)
3、确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等跟踪训练1以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210 B(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)225 D(x1)2(y2)225例2求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的方程类型二点与圆的位置关系例3(1)点P(m2,5)与圆x2y22
4、4的位置关系是()A点P在圆内 B点P在圆外C点P在圆上 D不确定(2)已知点M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围跟踪训练3已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围是_类型三与圆有关的最值问题例4已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值引申探究1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值2若本例条件不变
5、，求x2y2的最大值和最小值反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题跟踪训练4已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值1若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，32圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的
6、圆的标准方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)213已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y244若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_5求下列圆的标准方程(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆1判断点与圆的位置关系(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2
7、(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线是半径(4)圆心与切点的连线必与切线垂直3求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法(2)直接法答案精析问题导学知识点一思考1圆心坐标与圆的半径思考2能知识点二思考|OA|2，|OC|2.题型探究例1(1)(x2)2y29解析设圆心C的坐标为(a,0)(a0)，由题意知，解得a2，C(2,0)则圆C的半径为r|CM|3.圆的标
8、准方程为(x2)2y29.(2)(x5)2(y3)225解析圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.跟踪训练1DAB为直径，圆心为AB的中点(1,2)，半径为|AB|5，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.例2解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(直接法)由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径为r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.跟踪训练2解方法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb
9、)2r2，因为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.方法二因为A(0,5)，B(1，2)，所以线段AB中点的坐标为(，)，直线AB的斜率为kAB7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y(x)，即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心坐标为(3,1)又圆的半径r5，故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.例3(1)B由(m2)252m42524，得点P在圆外(2)0,1)解析由题意知，即解得0a4，2a220，即a1.例4解原方程表示以点(2,0)为圆心，为半
10、径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.引申探究1解设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.跟踪训练4解(1)由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值原点
11、(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1，因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令xyz，并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，则，解得z1，因此xy的最大值为1，最小值为1.当堂训练1B2.A3.A41解析x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为141.5解(1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，圆心坐标为(4,1)，半径为r，圆的标准方程为(x4)2(y1)226.(2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，kCD1，CD的中点坐标为(0,2)，CD的垂直平分线为yx2.则圆心坐标为(2,0)，r，圆的标准方程为(x2)2y210.
