GeoGebra(2)圆锥曲线详解全文

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1、GeoGebra 数学绘图教室(2) 圆锥曲线台北县立锦和高中 陈禾凯在教到圆锥曲线这一章时，课本通常会介绍两种方法来画拋物线、椭圆、及双曲线，第一种是以同心圆作图纸来描点，第二种是根据定义来画。本文简介利用数学绘图软件GeoGebra的个人教学经验，提供中学数学教师教学之参考。一 同心圆作图纸(1)抛物线的作图纸：画出一组同心圆及一组并行线。先在原点画出一点输入x= -1 (注意GeoGebra左边的代数字段会显示a:x=-1)输入指令sequenceLine(i，0)，a，i，1，10 可以画出和a 平行的直线输入指令sequencecircleA，i，i，1，10，可以画出以为圆心的同心

2、圆(2)椭圆及双曲线的作图纸：画出两组同心圆先画出，两点输入指令sequencecircleA，i，i，1，20，可以画出以A为圆心的同心圆输入指令sequencecircleB，i，i，1，20，可以画出以B为圆心的同心圆画出以上图形之后，滚动鼠标上的滚轮来调整图形的大小，再用把图摆到适当的位置，点选【档案-输出-绘图区到剪贴簿】，然后打开ord，按Ctrl+V即可将所画好的图贴上去。在课堂上发给同学们，在同心圆纸上描点钩勒出圆锥曲线轨迹点。二 根据定义来画甲拋物线定义: d(P，L)=d(P，F) 依据拋物线的定义作图，点P到焦点F与到准线等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)以y2=

3、4x为例，准线为L:x+1=0，焦点F为(1，0）绘图步骤1. 先画出准线L及焦点F2. 在准线L上任选一点A，和焦点F连起来，画出一条线段AF 3. 画出线段AF的中垂线M4. 画出和过A点且和准线L垂直的直线N5. 标出M， N两条线的交点P6. 要看P点的轨迹可以 (1)在P上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在点及点各点选一下7. 以鼠标拉动准在线的A点， 观察 P点的轨迹由以上的作图可知拋物线的性质线段AF的中垂线是切线 反过来说以切线为对称轴，焦点F的对称点在准在线思考一下此题和拋物线的关系：求与圆C: x2+y2-8x+12=0及L:x+2=0均相切之圆心轨迹为何?

4、(-动画教学-)乙椭圆 定义 : 椭圆上的点到两焦点的距离和为定值以为例 即画 的图形绘图步骤1. 画出名称为F1，F2的两焦点(-3，0)， (3，0)2. 以F1为圆心，半径为2a=10画一圆3. 圆周上任选一点，标示为A4. 连接5. 作的中垂线 L6. 作，L两线的交点，标示为P7. 要看P点的轨迹可以 (1)在P上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在点及点各点选一下8. 以鼠标拉动A点， 观察 P点的轨迹思考一下此题和椭圆的关系：圆C1: (x+1)2+y2=1圆C2 (x-1)2+y2=81若动圆C与C1外切，与C2内切则动圆C之圆心的轨迹方程式(-动画教学-)丙双曲

5、线 定义 : 双曲线上的点到两焦点的距离差为定值以为例 即画 绘图步骤1. 画出名称为F1，F2的两焦点(-5，0)，(5，0) 2. 以F1为圆心， 半径为2a=6画一圆3. 圆周上任选一点， 标示为A4. 画出直线及线段5. 作的中垂线 L (线段才有中垂线)6. 作及L两线的交点，标示为P7. 要看P点的轨迹可以 (1)在P上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在点及点各点选一下8. 以鼠标拉动A点， 观察 P点的轨迹思考一下此题和双曲线的关系：圆C1: (x+2)2+y2=1圆C2:(x-3)2+y2=4 若动圆C与C1,C2(1)均内切(2)均外切则动圆C之圆心的轨迹方程

6、式(-动画教学-)三、参数式绘图参考全任重教授网站之图形甲、拋物线 y=x2之图形绘图步骤已知为顶点L: y=-1 为准线1. 取准在线一点B, 画直线BA 2. 过A作直线和BA垂直, 交准线 于C 3. 过C作直线和准线L垂直, 交 BA于D D的轨迹即为拋物线 y=x2乙、椭圆绘图步骤 大圆小圆半径分别为a, b A(a cos , a sin) 在大圆上 B(b cos , b sin) 在小圆上 过A作铅直线, 过B作水平线 两线交点为 P(a cos , b sin) P的轨迹即为椭圆丙、双曲线绘图步骤 BF为大圆切线交X轴于F(a sec,0) DE为小圆切线, E点为 (b,

7、b tan) 过F作铅直线, 过E作水平线 两线交点为 P(a sec , b tan) P的轨迹即为双曲线(-动画教学-)四、数学题目中的图形甲、拋物线有一条拋物线位于坐标平面之上半面，并与 X 轴、直线 y=x-1 直线 y= -x-1 相切。下列叙述何者正确：A.此拋物线的对称轴必为 Y 轴。 B.若此拋物线对称轴为 Y 轴，则其焦距为 1。 C.此拋物线的顶点必在 X 轴上。 D.有不只一条拋物线满足此条件。画图要用到拋物线的性质：焦点对切线的对称点落在准在线。先来个小小的计算：设为焦点，对于三切线的对称点分别为因三点共线（都在准在线）由行列式化简得故焦点是落在单位圆之上绘图步骤1.

8、画出焦点所在的圆x2+y2=1。2. 在圆上任取一点，命名为F。3. 分别以三条切线为对称轴，找出焦点F的对称点。4. 这三个对称点共线，画出这条线来，即为准线。5. 有了焦点及准线，即可把抛线画出来。 (-动画教学-)依据大考中心的研究结果显示，当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹，究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算，对于圆锥曲线的作图法，课本虽有提及，但实际教学时也是匆匆带过。若是纯粹用代数方法较难解出本题，理应结合代数计算及几何绘图知识，才能很快画出符合题目条件的拋物线。乙、椭圆【Produs 性质】这是由普罗德斯(Produs 410-485年)所提出的。在一直在线有P，Q，C

9、三点，若P，Q沿着一个直角的两个边滑动， 则第3个点(即C点)的轨迹是一椭圆。特殊情形:若C和P，Q其中之一重合，C轨迹显然为一线段。绘图步骤1. 设PQ之长为a。2. 以原点为圆心，a为半径，画一圆。3. 圆上任取一点，过此点对轴及轴分别作垂线，所得的垂足即为，。（利用矩形的对角线相等性质）4. 设定一数值滑杆a1。5. 利用伸缩功能，a1为伸缩比例，作出PQ的伸缩点。6. 以鼠标拉动圆周上的点，观察点的轨迹(-动画教学-)拉动数值滑杆可改变点的位置，第一种是在之间，为、的内分点，另一种为在的延长线上，为外分点。再拉动圆周上的点，可观察点的轨迹。Van Schootens轨迹问题： 在一个A

10、BC中， 如A，B两顶点沿着一个固定角的两边滑动，则第三个顶点C的轨迹是一椭圆。绘图步骤1. 作，直线及在左下角任给之AB2. 以为圆心，为半径画圆3. 圆上任取一点，过作的并行线，交于4. 将，以为平移量平移至，此时5. 利用作6. 移动点则，分别在，上移动，取的轨迹可将ABC标签改为ABC，原左下角之AB自动更名为A1B11证明1.过OAB作外接圆，令其圆心为M。 2.过C，M两点作直线L。 3.L和OAB的外接圆交于两点P，Q。 4.因线段PQ落在过，的直线上，在ABC固定的情形之下，圆内接四边形APBQ随着圆的滚动,不改变其形状，因此，弧PB的大小是固定的，故POB的大小为定值，又B在

11、固定的OX轴上移动，故的轨迹为直线，同理可得的轨迹亦为直线。5.令直线OP为L1，直线OQ为L2，圆周角QOP为直角。 L1，L2为互相垂直之直线，P，Q分别在L1，L2上，C为直线PQ上的一点，满足Produs 性质之条件。 故(1) C和Q不重合，C的轨迹为椭圆。 (2) C和Q重合，C的轨迹为线段。（线段可视为椭圆的退化情形）(-动画教学-)Franciscus Van Schooten(1615-1660 年)是荷兰数学家，于1657年论述这个有趣的问题。他巧妙的构建出两条互相垂直的线，把问题转换为Produs的形式，可真令人拍案叫绝。丙、双曲线1. P点与 (1, 0), (-1,

12、0)的夹角为,若+=90, P点的轨迹为何种曲线 ?(摘自龙腾新天地)绘图步骤因GeoGebra把度数的范围定为0360之间，若=120则=90-=-30，屏幕左边的代数区会自动改为正同界角，即=330，但这不影响图的正确性1. 过(1,0)适当长为半径作一圆。2. 圆上取一点3. 以量出和轴的夹角，命名为。4. 输入=90-5. 输入过B(-1,0)的直线方程式y=tan() (x+1)6. 把上述两线的交点标示为P ，观察点之轨迹。2.设过原点的直线L与x+y+1=0及x-y+1=0分别交于P,Q 两点, 若P,Q之中点为M, 则M的轨迹为何种曲线?绘图步骤1. 输入x+y+1=0及x-y

13、+1=0。2. 以原点为圆心，适当长为半径，画一圆，圆上任取一点，以直线表示过原点的直线L3. 标示出和两线的交点P,Q。4. 画出PQ的中点5. 观察点之轨迹。(-动画教学-)有了GeoGebra这个好用的数学软件，今后学数学也可如同物理、化学一般，可以有实验课，如上所画出来的图看起来是双曲线，那到底是否真的是双曲线，可就要靠纸笔好好的计算验证一下。五、延伸阅读：1. 利用标尺作图找圆锥曲线的焦点师范大学陈创义教授2. 圆锥曲线师范大学陈创义教授3. 圆锥曲线_(宏2)师范大学陈创义教授4. 圆锥曲线作图法举例师范大学赵文敏教授5. 用同心圆来描绘圆锥曲线及切线的标尺作图 竹南高中 吴明宗老

14、师6. 圆锥曲线切线的标尺作图 科学教育月刊 272期 内湖高中 刘绍正老师六、相关书籍及文章：1. 公切圆之圆心轨迹-用动态几何软件探讨几何性质 台北市立师范学院 林保平 教授2. 100个著名初等数学问题历史和解答 海因里希.德里 着 凡异出版社 若是在书店或图书馆找不到这本书的话，可以上网 以英文书名100 Great Problems of Elementary Mathematics为关键词可找到此书的在线英文版，第页即为Van Schooten 轨迹问题3. 94 大学入学指定考科学甲多选题第9 题考解法之回响 成功高中 游经 杜云华 老师4. 龙腾新天地 第12期 数学问题集XI