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1、第二章 插值法与数值微分,插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)其表达式复杂不便于计算或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多 项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.,求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, . , xn 处的值 y0 , y1 , , yn , 构造一个简单函数 (x) 作为函数
2、 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) (x) 使 (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn , (a) 这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，(x) 称为插值函数， x0 , x1, . , xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。常用的插值函数是多项式。 插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。,最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1) 这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件 pn(xi)=yi, i= 0,
3、1,2,，n, (2) 只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1, an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 . a0+a1xn+anxnn=yn (3),而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式 = (4) 由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(
4、x) 的方法-Lagrange插值和Newton插值。,2.1 线性插值 先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题(2)就是求一次多项式 P1(x)=a0+a1x 使它满足条件 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 , 令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于 l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1. 这样l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=(x-x1), 再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到 x-x1 l0(x)=- , x0-x1 类似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0 这样 x-x1 x
5、-x0 P1(x)=-y0 + -y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。,(x0 ,y0),(x1 ,y1),P1(x),f(x),Newton插值,Newton插值,把直线方程利用点斜式表示：,由于函数f(x)在xi,xj处一阶均差的定义是：,（）,因此, 是f(x) 在 x1 , x0处的一阶 均差， 利用均差的对称性， （） 式可以表示为： 这种形式的插值叫做牛顿（Newton）插值,定理2.1：设给定 x x0 x1 y y0 y1 是过x0,x1的线性插值函数，a,b是包含(x0,x1)的任一区间，并设 在a,b上存在，则
6、对任意给定 , 总存在一点 使 且可以证明：,roll定理,如果函数f(x)满足： 在闭区间a,b上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得 f()=0,2.2 二次插值,线性插值是用两点 和 来构造y=f(x)的插值函数，下面用三个点 来构造y=f(x)过三点的插值函数。（过三点可以作一条抛物线）。,构造l0(x):由于l0(x)有x1和x2二个零点，因此有因子(x-x1)(x-x2)，又因有l0(x）是一个次数不高于二次的多项式，所以，还可能相差一个常数因子，于是把l0(x）写成：,当,互异时方程组的解
7、唯一,为了确定系数将三点代入方程得：,x0,x1,x2, f(x),f(x),抛物插值,利用条件 ，可求得： 那么x0点的二次插值基函数为： 同理构造 为：,插值函数： 牛顿二次插值多项式： 假设过 的二次插值多项式具有下面的形式： 确定系数A,B,C： 利用 我们有：,再利用 有： B = 最后 确定C： （为一阶均差的均差） 其中,f xi, xj , xk 为f (x)在点xi, xj, xk处的二阶差商 一般的称 为f (x)在点x0, x1, xn处的n阶差商。 于是得到二次牛顿插值多项式：,三、例题： 例1: 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,
8、 sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。 解： 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 , y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。 用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得,其截断误差为 其中 ，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx， 可取 ，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 P1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105， 若取x1=0.34，x2=0.
9、36为节点，则线性插值为 ，,其截断误差为 ， 其中 于是 用抛物插值计算 sin0.3367时，可得,这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得 其中 于是,2019/7/2,例2: 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据,高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求1200米处的压强值.,解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (200
10、0,0.7485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- - y0 + - y1 + - y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1) 代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.
11、8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980 所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2),例3.取节点x0=0,x1=1和 对 建立线性插值多项式和二次插值多项式。 解：先构造x0=0,x1=1两点的线性插值多项式。 x 0 1 y 1 e-1 （1）拉格朗日插值多项式 先选过(0,1)和(1, e-1)的一次插值函数,这样： = (2)牛顿型插值多项式： 因为 ，所以,构造过,的二次插值函数，因为,(1)拉格朗日二次插值函数。 构造过,的二次插值基函数,因此 = 因此,
12、（2）牛顿型二次插值函 因为：,2.3 n次插值,设给定函数表 x x0 x1 xn y y0 y1 yn 要求构造一个插值多项式 满足条件： （1） 是次数不高于n的多项式 （2）,把插值多项,表示成,写成方程组形式：,其中系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式 当互异时方程组的解存在而且唯一，这说明过n+1个点的 n次插值多项式存在而且唯一，,拉格朗日型n次插值多项式： （1）先构造n+1个插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数li(x) （2） li(x)的数值表： x0 x1 , xn l0(x) 1 0 , 0 l1(x) 0 1 , 0 ln(x) 0 0 , 1
13、（3）确定li(x)的零点，构造li(x):,（4）利用 得：,（5）,这就是拉格朗日型n次插值多项式的一般形式,为了得到n次牛顿型插值多项式： （1）构造均差表：,这里,（2）,Newton-n次插值形式,逐次线性插值,（3）,N次插值表见教材表2.7,例1:给定数据表f(x)=lnx数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x) 解:差商表,N2(x)=0
14、.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60) f(2.65) N2(2.65) N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80),插值函数，插值节点 n次插值基函数 拉格朗日(Lagrange)插值多项式 插值余项,关键词：,用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。 对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项式(x)，满足下面两个条件： (1) (x)是一个不超过 n 次的多项式； (2) 在给定的点xi( I =0,1, ,n)上与 f(xi)取相同值，即 (xi)=yi (I=0,1, ,n)。 我们称(x) 为 f(x) 的插值函数，点 xi 为插值
