《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.2 函数的单调性与最值 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.2 函数的单调性与最值 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 最新考纲考情考向分析 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及 其几何意义 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的 性质. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、 单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函 数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思 想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答 题. 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量的值 x1，x2 定义 当 x1f(x2)，那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数 图象描述 自左向
2、右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 2函数的最值 前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)M (3)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (4)存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 为最大值M 为最小值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在 D 上是增函数，0)的增区间
3、为(，和，)，减区间为，0)和(0， a xaaa a (3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0， 得函数的定义域为(1，) (， 1 2) 令 t2x23x1，则 y， 1 2 log t t2x23x12 2 ， (x 3 4) 1 8 t2x23x1 的单调递增区间为(1，) 又 y在(1，)上是减函数， 1 2 log t 函数 y的单调递
4、减区间为(1，) 2 1 2 log (231)xx (2)函数 yx22|x|3 的单调递减区间是_ 答案 1,0，1，) 解析 由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0，x0)，若 f(x)在上的值域为，则 a_. 1 a 1 x 1 2，2 1 2，2 答案 2 5 解析 由反比例函数的性质知函数 f(x) (a0，x0)在上单调递增， 1 a 1 x 1 2，2 所以Error!Error! 即Error!Error!解得 a . 2 5 思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，
5、再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值 (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 题型三题型三 函数单调性的应用函数单调性的应用 命题点 1 比较大小 典例 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1) (x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 答案 D 解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是
6、减函数，因为 aff，且 2ac. ( 1 2) ( 5 2) 5 2 命题点 2 解函数不等式 典例 已知函数 f(x)为(0，)上的增函数，若 f(a2a)f(a3)，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 (3，1)(3，) 解析 由已知可得Error!Error! 解得33， 所以实数 a 的取值范围为(3，1)(3，) 命题点 3 求参数范围 典例 (1)(2018郑州模拟)函数 y在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是( ) x5 xa2 Aa3 Ba3 Ca3 Da3 (2)已知 f(x)Error!Error!是(，)上的减函数，则 a 的取值范围是( ) A(0,1) B.(
7、 0，1 3) C. D. 1 7， 1 3) 1 7，1) 答案 (1)C (2)C 解析 (1)y1， xa2a3 xa2 a3 xa2 由题意知Error!Error!得 a3. a 的取值范围是 a3. (2)由 f(x)是减函数，得Error!Error! a ， 1 7 1 3 a 的取值范围是. 1 7， 1 3) 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小 (2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数 的定义域 (3)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； 需注意若函数在
8、区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 跟踪训练 (1)如果函数 f(x)Error!Error!满足对任意 x1x2，都有0 成立，那么 a 的取 fx1fx2 x1x2 值范围是_ 答案 3 2，2) 解析 对任意 x1x2，都有0. fx1fx2 x1x2 所以 yf(x)在(，)上是增函数 所以Error!Error!解得 a2. 3 2 故实数 a 的取值范围是. 3 2，2) (2)(2017珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上单调递增，且 f0，则不等 ( 1 2) 式 f(
9、)0 的解集为_ 1 9 log x 答案 Error!Error! 解析 由题意知，ff0， ( 1 2) ( 1 2) f(x)在(，0)上也单调递增 f()f或 f()f， 1 9 log x ( 1 2) 1 9 log x ( 1 2) 或 0， 1 9 log x 1 2 1 2 1 9 log x 解得 0x 或 1x3. 1 3 原不等式的解集为Error!Error!. 1函数 yx26x10 在区间(2,4)上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增 D先递增再递减 答案 C 解析 作出函数 yx26x10 的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递
10、增 的 2(2017河南中原名校第一次质检)函数 y的单调递增区间为( ) 2 1 2 log (6)xx A. B. ( 1 2，3) (2， 1 2) C. D. ( 1 2，) (， 1 2) 答案 A 解析 由x2x60，得2x3，故函数的定义域为(2,3)，令 tx2x6，则 y，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 1 2 log t tx2x6 在(2,3)上的单调递减区间 利用二次函数的性质可得 tx2x6 在定义域(2，3)上的单调递减区间为，故选 ( 1 2，3) A. 3下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( ) Ay Bycos x 1 1x
11、 Cyln(x1) Dy2x 答案 D 解析 y与 yln(x1)在区间(1,1)上为增函数； 1 1x ycos x 在区间(1,1)上不是单调函数；y2x x在(1,1)上为减函数 ( 1 2) 4已知函数 ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A(0,1 B1,2 C1，) D2，) 答案 C 解析 要使 ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则 a0 且 a10，即 a1. 5(2017天津)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 af，bf，cf(20.8)， (log2 1 5)(log24.1) 则 a，b，c 的大小关系为( ) A
12、a1)是增函数，故 a1，所以 a 的 1 2 取值范围为 10，(x11)(x21)0， 所以 f(x1)f(x2)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (，2) 解析 二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递减， x22x3f(2ax)得到 xa0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 时，f(x)x2， 1 2 1 2x 任取 1x11，2x1x210. 又 x1x20 恒成立， x22xa x 则Error!Error!即Error!Error!等价于 a 大于函数 (x)(x22x)在1，)上的最大值 (x)(x1)21 在1，)上单调递减， 当 x1 时，(x)取得最大值 (1)3. a3，故实数 a 的取值范围是(3，)
