《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和学案 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和学案 理 北师大版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和 考纲传真 (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项 和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相 应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系 (对应学生用书第 82 页) 基础知识填充 1等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那 么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(nN N，d为常数) (2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A 叫作a与b的等差中项，即A.
2、 ab 2 2等差数列的有关公式 (1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d. (2)前n项和公式：Snna1. n(n1)d 2 n(a1an) 2 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N) (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N)，则akalaman. (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N)是公差为md 的等差数列 4等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn
3、n2n. d 2 (a1 d 2) 5等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小 值 知识拓展 an为等差数列，Sn是an前n项和 (1)若anm，amn，则amn0， (2)若Smn，Snm，则Smn(mn)， (3)若SmSk(mk)，则Smk0. 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差 数列( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN N，都有 2an1anan2.( ) (3)等差数列an的单调
4、性是由公差d决定的( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于( ) A1 B1 C2D2 D D 依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选 D 3在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于( ) A1B0 C1D6 B B 由等差数列的性质，得a62a4a22240，选 B 4(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( ) A5B7 C9D11
5、 A A a1a3a53a33a31，S55a35. 5(a1a5) 2 5(教材改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_. 180 由等差数列的性质，得 a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. (对应学生用书第 82 页) 等差数列的基本运算 (1)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648， 则an的公差为( ) A1 B2 C4D8 (2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_. 【导学号：79140171】 (1)C C (2)72 (1)设an的公差为d，则 由Error! 得E
6、rror!解得d4. 故选 C (2)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由已知，得Error!解得Error! 所以S16163(1)72. 16 15 2 规律方法 解决等差数列运算问题的思想方法 1方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前 n项和公式列方程组求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二” . 2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的 联系，整体代换即可求解. 3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. 跟踪训练 (1)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an
7、的前n项和为 Sn，S1122，a412，若am30，则m( ) A9B10 C11D15 (2)张邱建算经卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾(注：从第 2 天起每天 比前一天多织相同量的布)，第 1 天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计)，共织 390 尺 布，则第 2 天织布的尺数为( ) AB 161 29 161 31 CD 81 15 80 15 (1)B B (2 2)A A (1)设等差数列an的公差为d，依题意Error!解得Error! ama1(m1)d7m4030，m10. (2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列an，且a15，S30390， 设公差
8、为d，则 305d390，解得d，则a2a1d，故 30 29 2 16 29 161 29 选 A 等差数列的判定与证明 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36. (1)求an的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 解 (1)设an的公比为q.由题设可得 Error! 解得q2，a12. 故an的通项公式为an(2)n. (2)由(1)可得 Sn (1)n. a1(1qn) 1q 2 3 2n1 3 由于Sn2Sn1 (1)n 4 3 2n32n2 3 22Sn， 2 3(1)n 2n1 3 故Sn1，Sn，Sn2成等差数列 规律方法
9、 等差数列的四种判断方法 1定义法：an1andd是常数an是等差数列.可用来判定与证明. 2等差中项法：2an1anan2nN Nan是等差数列.可用来判定与证明. 3通项公式：anpnqp，q为常数an是等差数列. 4前n项和公式：SnAn2BnA，B为常数an是等差数列. 跟踪训练 (1)在数列an中，若a11，a2 ，(nN N)，则该数列 1 2 2 an1 1 an 1 an2 的通项为( ) AanBan 1 n 2 n1 CanDan 2 n2 3 n (2)已知数列an中，a1 ，an2(n2，nN N)，数列bn满足bn 3 5 1 an1 (nN N) 1 an1 求证：
10、数列bn是等差数列 求数列an中的通项公式an. (1 1)A A 由已知式可得 2 an1 1 an 1 an2 ，知是首项为1，公差为211 的等差 1 an1 1 an 1 an2 1 an1 1 an 1 a1 1 a2 1 a1 数列，所以n，即an . 1 an 1 n (2)证明：因为an2(n2，nN N)， 1 an1 bn. 1 an1 所以n2 时，bnbn1 1 an1 1 an11 1. 1 (2 1 an1)1 1 an11 an1 an11 1 an11 又b1 ， 1 a11 5 2 所以数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列 5 2 由(1)知，bnn ，
11、 7 2 则an11. 1 bn 2 2n7 等差数列的性质及最值 (1)(2018东北三省三校二联)等差数列an中， a1a3a539，a5a7a927，则数列an的前 9 项的和S9等于( ) A66B99 C144D297 (2)在等差数列an中，已知a110，前n项和为Sn，若S9S12，则Sn取得最大值 时，n_，Sn的最大值为_. 【导学号：79140172】 (1)B B (2)10 或 11 55 (1)根据等差数列的性质知a1a3a53a339，可得 a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S999，故 9(a1a9) 2 9(a3a7) 2 选 B (2)法一：因
12、为a110，S9S12， 所以 910d1210d， 9 8 2 12 11 2 所以d1. 所以ann11. 所以a110，即当n10 时，an0， 当n12 时，an0， 所以当n10 或 11 时，Sn取得最大值，且最大值为 S10S111010(1)55. 10 9 2 法二：同法一求得d1. 所以Sn10n(1)n2n n(n1) 2 1 2 21 2 . 1 2(n 21 2) 2 441 8 因为nN N，所以当n10 或 11 时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155. 法三：同法一求得d1. 又由S9S12得a10a11a120. 所以 3a110，即a110. 所以当n
13、10 或 11 时，Sn有最大值 且最大值为S10S1155. 规律方法 1.等差数列的性质 1项的性质：在等差数列an中，amanmnddmn，其几何意 aman mn 义是点n，an，m，am所在直线的斜率等于等差数列的公差. 2和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nna1a2nnanan1. S2n12n1an. 2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求 二次函数最值的方法求解. 2邻项变号法. 当a10，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 易错警示：易忽视nN N
14、. 跟踪训练 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( ) a6 a5 9 11 S11 S9 A1B1 C2D 1 2 (2)设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_. (1)A A (2)200 1. S11 S9 11(a1a11) 2 9(a1a9) 2 11a6 9a5 11 9 9 11 (2)依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数 列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101) d169d，解得d ，因此S10010S10d1016 200. 8 9 10 9 2 10 9 2 8 9
