《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第7章 立体几何 第6节 空间向量及其运算学案 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第7章 立体几何 第6节 空间向量及其运算学案 理 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算 考纲传真1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量 积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 (对应学生用书第 120 页) 基础知识填充 1空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中，具有大小和方向的量 自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向量 方向向量 A、B是空间直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量 AB 法向量 如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量n n叫作平面 的法向量 2
2、.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：空间两个向量a a，b b(b b0)，共线的充要条件是存在实数，使 得a ab b. (2)空间向量基本定理：如果向量e e1，e e2，e e3是空间三个不共面的向量a a是空间 任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a a1e e12e e23e e3， 其中e e1，e e2，e e3叫作这个空间的一个基底 3两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a a，b b的数量积a ab b|a a|b b|cosa a，b b (2)空间向量数量积的运算律： 交换律：a ab bb ba a； 分配律：a a(b bc c)a ab ba a
3、c c； (a a)b b(a ab b) 4空间向量的坐标表示及其应用 设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3) 向量表示坐标表示 数量积 a ab b a1b1a2b2a3b3 共线a ab b(b b0 0，R R) a1b1，a2b2，a3 b3 垂直a ab b0(a a0 0，b b0 0)a1b1a2b2a3b30 模 |a a|a2 1a2 2a2 3 夹角cosa a，b b(a a0 0，b b0 0) a1b1a2b2a3b3 a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)
4、(1)空间中任意两非零向量a a，b b共面( ) (2)对任意两个空间向量a a，b b，若a ab b0，则a ab b.( ) (3)若a ab b0，则a a，b b是钝角( ) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.( ) AB BC CD DA 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)如图 761 所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为 A1C1与B1D1的交 点若a a，b b，c c，则下列向量中与相等的向量是( ) AB AD AA1 BM 图 761 Aa ab bc cBa ab bc c 1 2 1 2 1 2 1 2 Ca ab bc
5、cDa ab bc c 1 2 1 2 1 2 1 2 A A ()c c (b ba a)a ab bc c. BM BB1 B1M AA1 1 2 AD AB 1 2 1 2 1 2 3若向量c c垂直于不共线的向量a a和b b，d da ab b(、R R，且0)，则( ) Ac cd d Bc cd d Cc c不平行于d d，c c也不垂直于d d D以上三种情况均有可能 B B 由题意得，c c垂直于由a a，b b确定的平面 d da ab b，d d与a a，b b共面c cd d. 4已知a a(2,3,1)，b b(4,2，x)，且a ab b，则|b b|_. 2 a
6、ab b，a ab b2(4)321x0， 6 x2，|b b|2. (4)222226 5已知向量a a(4，2，4)，b b(6，3,2)，则(a ab b)(a ab b)的值为_ 13 (a ab b)(a ab b)a a2b b242(2)2(4)262(3)22213. (对应学生用书第 121 页) 空间向量的线性运算 如图 762 所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 a a，b b，c c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a a，b b，c c表示以 AA1 AB AD 下各向量： 图 762 (1)； AP (2). MP
7、NC1 解 (1)因为P是C1D1的中点， 所以a a AP AA1 A1D1 D1P AD 1 2D1C1 a ac ca ac cb b. 1 2AB 1 2 (2)因为M是AA1的中点， 所以 MP MA AP 1 2A1A AP a aa ab bc c. 1 2 (a ac c 1 2b b) 1 2 1 2 因为N是BC的中点， 则 NC1 NC CC1 1 2BC AA1 c ca a， 1 2AD AA1 1 2 所以 MP NC1 ( 1 2a a 1 2b bc c) (a a 1 2c c) a ab bc c. 3 2 1 2 3 2 规律方法 用基向量表示指定向量的方
8、法 1结合已知向量和所求向量观察图形. 2将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. 3利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 跟踪训练 如图 763 所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为 OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则 MG GN OG OA OB OC xyz_. 图 763 连接ON，设a a，b b，c c， 5 6 OA OB OC 则 () MN ON OM 1 2 OB OC 1 2OA b bc ca a， 1 2 1 2 1 2 OG OM MG 1 2OA 2 3MN a aa ab bc c
9、. 1 2 2 3( 1 2b b 1 2c c 1 2a a) 1 6 1 3 1 3 又xyz，所以x ，y ，z ， OG OA OB OC 1 6 1 3 1 3 因此xyz . 1 6 1 3 1 3 5 6 共线、共面向量定理的应用 (1)(2017佛山模拟)已知a a(1,0,2)，b b(6,21,2)，若a ab b，且a a 与b b反向，则_. 【导学号：79140244】 (2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量 方法求证： E，F，G，H四点共面； BD平面EFGH. (1) a ab b，且a a与b b反向， 5 2
10、 (6,21,2)k(1,0,2)，k0. Error!解得Error!或Error! 当2， 时，k2 不合题意，舍去 1 2 当3， 时，a a与b b反向 1 2 因此3 . 1 2 5 2 (2)证明 连接BG，则 ()，由共面向量定理 EG EB BG EB 1 2 BC BD EB BF EH EF EH 知E，F，G，H四点共面 因为 ()，因为E，H，D，B四点不共线，所以 EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2 AD AB 1 2BD EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH. / / 所以BD平面EFGH. 规律方法 1.证明点共线的方法,证明点共线问题可
11、转化为证明向量共线问题，如证明 A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明0. AB AC AB AC 2.证明点共面的方法,证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C 四点共面，证明xy，或对空间任一点O，有xy，或xy PA PB PC OA OB PB PC OP OA zxyz1即可. OB OC 跟踪训练 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 () OM 1 3 OA OB OC (1)判断， ，三个向量是否共面； MA MB MC (2)判断点M是否在平面ABC内 解 (1)由已知3， OA OB OC OM ()() OA OM OM
12、 OB OM OC 即， MA BM CM MB MC ， ，共面 MA MB MC (2)由(1)知， ，共面且过同一点M. MA MB MC 四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内 空间向量数量积的应用 如图 764 所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分 别是AB，CD的中点 图 764 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值 解 (1)证明：设p p，q q，r r. AB AC AD 由题意可知，|p p|q q|r r|a，且p p，q q，r r三个向量两两夹角均为 60. () MN AN AM 1 2 A
13、C AD 1 2AB (q qr rp p)， 1 2 (q qr rp p)p p MN AB 1 2 (q qp pr rp pp p2) 1 2 (a2cos 60a2cos 60a2)0. 1 2 ，即MNAB. MN AB 同理可证MNCD. (2)设向量与的夹角为. AN MC () (q qr r)， AN 1 2 AC AD 1 2 q qp p， MC AC AM 1 2 (q qr r) AN MC 1 2 (q q 1 2p p) 1 2(q q2 1 2q qp pr rq q 1 2r rp p) 1 2(a2 1 2a2cos 60a2cos 60 1 2a2cos 60) . 1 2(a2 a2 4 a2 2 a2 4) a2 2 又|a， AN MC 3 2 |cos aacos . AN MC AN MC 3 2 3 2 a2 2 cos . 2 3 向量与的夹角的余弦值为 ，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为 . AN MC 2 3 2 3 规律方法 1.空间向量数
