2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第6章第4讲 数列求和、数列的综合应用（考题帮.数学理）

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1、第四讲第四讲 数列求和、数列的综合应用数列求和、数列的综合应用 题组题组 1 1 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用 1.2014 新课标全国,5,5 分等差数列an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则an的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. ( + 1) 2 ( - 1) 2 2.2017 北京,10,5 分理若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = 2 2 . 3.2015 湖南,14,5 分理设 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列, 则 an

2、= . 4.2014 安徽,12,5 分理数列an是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q= . 5.2014 天津,11,5 分理设an是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn为其前 n 项和.若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 . 6.2016 北京,15,13 分已知an是等差数列,bn是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. ()求an的通项公式; ()设 cn=an+bn,求数列cn的前 n 项和. 7.2016 天津,18,13 分理已知an是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 nN*,bn

3、是 an和 an+1的等比中项. ()设 cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列; 2 + 1 2 ()设 a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:100 且该数列 的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440B.330C.220D.110 题组题组 3 3 数列与其他知识的综合数列与其他知识的综合 9.2016 浙江,8,5 分如图 6-4-1,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*(PQ 表示点 P 与 Q 不重 合).若 dn=|A

4、nBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则( ) 图 6-4-1 A.Sn是等差数列 B.是等差数列 C.dn是等差数列 D.是等差数列 2 2 10.2015 福建,8,5 分理若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这 三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 11.2016 四川,19,12 分理已知数列an的首项为 1,Sn为数列an的前 n 项和,Sn+1=qSn+1,其 中 q0,nN*. ()若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列an的通项公式;

5、 ()设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2= ,证明:e1+e2+en. 2 2 5 3 4 - 3 3 - 1 12.2015 安徽,18,12 分理设 nN*,xn是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的横 坐标. ()求数列xn的通项公式; ()记 Tn=,证明:Tn . 2 1 2 3 2 2 - 1 1 4 A 组基础题组基础题 1.2018 武汉市部分学校调研,3已知等比数列an中,3a2,2a3,a4成等差数列,设 Sn为数列an 的前 n 项和,则 等于( ) 3 3 A. B.3 或 C.3 D. 13 9 13 9 7 9 2.201

6、7 东北三省四市一模,5已知数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且满足 a2 016+a2 017=,b20b21=4,则 tan =( ) 1+ 4 032 2 + 1922 A. B. C.1 D.-1 3 3 3 3.2017 石家庄市一模,8已知函数 f(x)在(-1,+)上单调,且函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=1 对称,若数列an是公差不为 0 的等差数列,且 f(a50)=f(a51),则数列an的前 100 项的和为( ) A.-200 B.-100 C.0 D.-50 4.2018 长春市高三第一次质量监测,17已知数列an的前 n 项和 Sn=2n+1+n-2

7、. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=log2(an-1),求证:+100,令100,n14,nN*,即 N ( + 1) 2 ( + 1) 2 出现在第 13 组之后.易得第 n 组的所有项的和为=2n-1,前 n 组的所有项的和为- 1 - 2 1 - 2 2(1 - 2) 1 - 2 n=2n+1-n-2.设满足条件的 N 在第 k+1(kN*,k13)组,且第 N 项为第 k+1 组的第 t(tN*)个数, 第 k+1 组的前 t 项的和 2t-1 应与-k-2 互为相反数,即 2t-1=k+2,2t=k+3,t=log2(k+3),当 t=4,k=13 时,N=+4=95

8、5 时,N440,故选 A. 9.A 如图 D 6-4-1, 图 D 6-4-1 记 hn为AnBnBn+1的边 BnBn+1上的高(nN*),设锐角的大小为 ,根据图象可知, hn+1=hn+|AnAn+1|sin ,又|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Sn+1-Sn= |Bn+1Bn+2|hn+1- 1 2 |BnBn+1|hn= |BnBn+1|(hn+1-hn)= |BnBn+1|AnAn+1|sin .根据题意知, 1 2 1 2 1 2 |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,|AnAn+1|=|An+1An+2|, |BnBn+1|AnAn+1|sin 为常数,Sn为等差数

9、列,故 1 2 选 A. 10.D 因为 a,b 为函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,所以所以 2- 4 0, + = , = , ? a0,b0,所以当-2 在中间时,a,b,-2 这三个数不可能成等差数列,且只有当-2 在中间时,a,b,-2 这三个数才能成等比数列.经分析知,a,b,-2 或 b,a,-2 或-2,a,b 或-2,b,a 成等差数列,a,-2,b 或 b,- 2,a 成等比数列.不妨取数列 a,b,-2 成等差数列,数列 a,-2,b 成等比数列,则有解得 - 2 = 2, = 4, ? 或(舍去),所以所以 p+q=9.故选 D. = 4,

10、= 1 ? = - 2, = - 2 ? = 5, = 4, ? 11.()由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n1 都成立. 所以,数列an是首项为 1,公比为 q 的等比数列.从而 an=qn-1. 由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得 2a3=3a2+2,得 2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故 q=2. 所以 an=2n-1(nN*). ()由()可知,an=qn-1. 所以双曲线 x2- =1 的离心率 en=.

11、 2 2 1 + 2 1 + 2( - 1) 由 e2= 得 q= . 1 + 2 5 3 4 3 因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以qk-1(kN*). 1 + 2( - 1) 于是 e1+e2+en1+q+qn-1=, - 1 - 1 故 e1+e2+en. 4 - 3 3 - 1 12.()y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2, 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1). 令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1-=. 1 + 1 + 1 ()由题设和()中的计算结果知 Tn=( )2

12、( )2()2. 2 1 2 3 2 2 - 1 1 2 3 4 2 - 1 2 当 n=1 时,T1= . 1 4 当 n2 时,因为=()2=, 2 2 - 1 2 - 1 2 (2 - 1)2 (2)2 (2 - 1)2 - 1 (2)2 2 - 2 2 - 1 所以 Tn( )2 = . 1 2 1 2 2 3 - 1 1 4 综上可得对任意的 nN*,均有 Tn . 1 4 A 组基础题组基础题 1.B 设等比数列an的公比为 q,由 3a2,2a3,a4成等差数列,得 3a2+a4=4a33a2+a2q2=4a2qa2(q2-4q+3)=0a2=0(舍去)或 q2-4q+3=0,q

13、=3 或 q=1. 当 q=3 时,S3=, = ; 当 q=1 时,数列an是常数列,a1=a2=a3,此时 1(1 - 3) 1 - 3 3 1(1 - 3) 12(1 - ) 1 - 3 2 - 3 1 - 33 32 - 3 3 13 9 =3.综上,故选 B. 3 3 1+ 2+ 3 3 2.A 依题意得 a1+a4 032=a2 016+a2 017=,b19b22=b20b21=4,所以 tan=tan =,选 A. 1+ 4 032 2 + 1922 6 3 3 3.B 因为函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称.又

14、函数 f(x)在(-1,+)上单调,数列an是公差不为 0 的等差数列,且 f(a50)=f(a51),所以 a50+a51=-2, 所以 S100=50(a50+a51)=-100,故选 B. 100(1+ 100) 2 4.(1)由得 an=Sn-Sn-1=2n+1(n2). = 2 + 1+ - 2, - 1= 2+ ( - 1) - 2( 2), ? 当 n=1 时,a1=S1=3,也适合 an=2n+1.综上,an=2n+1. (2)由(1)知,bn=log2(an-1)=log22n=n. 所+=+=(1- )+( - )+( - )+( -)=1- 1 12 1 23 1 34 1 + 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 ( + 1) 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 + 1 -2,若 n=1,则 R,若 n1,则 -,所以 0;当 n 2 - 2 ( + 1)2- 2( + 1) 2 2 - 1 为偶数时,由 an-2,所以 - ,即 0.综上,实数 2 - 2 2 ( + 1)2-