《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：4.7 解三角形的综合应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：4.7 解三角形的综合应用 （18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.7 解三角形的综合应用解三角形的综合应用 最新考纲考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知 识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题. 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、 角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三 角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用 性题型主要为选择题和填空题，中档难度. 实际测量中的常见问题 求 AB图形需要测量的元素解法 底部可达 ACB，BCa 解直角三角形 ABatan 求竖直高度 底部 不可 达 ACB，ADB，CD a 解两个直角三角形 AB atan tan tan tan 山两 侧 ACB，ACb，BCa 用余弦定理 AB a2b22
2、abcos 河两 岸 ACB，ABC，CB a 用正弦定理 AB asin sin 求水平距离 河对 岸 ADC，BDC，B CD，ACD，CDa 在ADC 中，AC 在BDC 中，BC asin sin ； asin sin 在ABC 中，应用余弦定理 求 AB 知识拓展 实际问题中的常用术语 1仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角， 目标视线在水平视线下方叫俯角(如图) 2方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等 3方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图) 4坡度(又称坡比
3、) 坡面的垂直高度与水平长度之比 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( ) 0， 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.( ) 0， 2) 题组二 教材改编 2.P11 例 1如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB10
4、5后，就可以计算出 A，B 两点的距 离为_ m. 答案 50 2 解析 由正弦定理得，又B30， AB sinACB AC sin B AB50(m) ACsinACB sin B 50 2 2 1 22 3P13 例 3如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米 到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米 答案 a 2 2 解析 由题图可得PAQ30， BAQ15，PAB 中，PAB15， 又PBC60， BPA30， (90)(90) ，PBa， a sin 30 PB sin 15 6 2 2 PQPCCQPBsin asi
5、n asin 60asin 15a. 6 2 2 2 2 题组三 易错自纠 4在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则 BAC 等于( ) A10 B50 C120 D130 答案 D 5.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点 的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_. 答案 a 3 2 解析 由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，ADa， 3 所以在 RtADB 中，AB ADa. 1 2 3 2 6在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪
6、水 中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h， 若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h. 答案 60 20 3 解析 如图，AOB60，由余弦定理知 OC2202202800cos 1201 200，故 OC20 ，COy303060. 3 题型一题型一 求距离、高度问题求距离、高度问题 1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两 点之间的距离为( ) A. km B. km 62 C. km D2 km 3 答案 A 解析 如图，在ABC 中，由
7、已知可得ACB45，AC2 AC sin 60 2 sin 452 3 2 (km) 6 2.(2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得，BCA90，ABC90，BAC，CAD. 在ABC 中，由正弦定理得， AC sinABC BC sinBAC 即， AC sin90 BC sin AC. BCcos sin hcos sin 在 RtACD 中，CDACsinCADACsin . hcos sin sin 故山高
8、 CD 为. hcos sin sin 3(2018枣庄模拟)如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30的方向， 之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75的方向，且与它相距 8 n mile.此船的航速是_ n mile/h. 2 答案 32 解析 设航速为 v n mile/h， 在ABS 中，AB v，BS8，BSA45， 1 22 由正弦定理得，则 v32. 8 2 sin 30 1 2v sin 45 思维升华 求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形
9、，若其他量已知则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二题型二 求角度问题求角度问题 典例 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船 遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的 乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_ 答案 21 14 解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800， 得 BC2
10、0. 7 由正弦定理，得， AB sinACB BC sinBAC 即 sinACBsinBAC. AB BC 21 7 由BAC120，知ACB 为锐角， 则 cosACB. 2 7 7 由 ACB30，得 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30. 21 14 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一 步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B
11、与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60的方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的 _的方向上 答案 北偏西 10 解析 由已知ACB180406080， 又 ACBC，AABC50，605010， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上 题型三题型三 三角形与三角函数的综合问题三角形与三角函数的综合问题 典例 (2018石家庄模拟)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(2ac)cos B bcos C0. (1)求角 B 的大小； (2)设函数 f(x)2sin xcos xcos Bcos 2
12、x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的 3 2 值 解 (1)因为(2ac)cos Bbcos C0， 所以 2acos Bccos Bbcos C0， 由正弦定理得 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0， 即 2sin Acos Bsin(CB)0， 又 CBA，所以 sin(CB)sin A. 所以 sin A(2cos B1)0.在ABC 中，sin A0， 所以 cos B ，又 B(0，)，所以 B . 1 2 3 (2)因为 B ， 3 所以 f(x) sin 2xcos 2xsin， 1 2 3 2 (2x 3) 令 2x 2k
13、 (kZ)，得 xk(kZ)， 3 2 5 12 即当 xk(kZ)时，f(x)取得最大值 1. 5 12 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合 思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 跟踪训练 设 f(x)sin xcos xcos2. (x 4) (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f0，a1，求ABC 面积 ( A 2) 的最大值 解 (1)由题意知 f(x) sin 2x 2 1cos(2x 2) 2 sin 2x . sin 2x 2 1sin 2x
14、2 1 2 由 2k2x 2k，kZ, 2 2 可得 kx k，kZ； 4 4 由 2k2x2k，kZ, 2 3 2 可得 kxk，kZ. 4 3 4 所以 f(x)的单调递增区间是(kZ)； 4k， 4k 单调递减区间是(kZ) 4k， 3 4 k (2)由 fsin A 0，得 sin A ， ( A 2) 1 2 1 2 由题意知 A 为锐角，所以 cos A. 3 2 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 可得 1bcb2c22bc， 3 即 bc2，当且仅当 bc 时等号成立 3 因此 bcsin A. 1 2 2 3 4 所以ABC 面积的最大值为. 2 3 4 函数思想在解三角形中的应用 典例 (12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时， 轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里
