《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第八章 立体几何8.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第八章 立体几何8.3 （17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.3空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2
2、直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补知识拓展1唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异
3、面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二教材改编2P52B组T1(2)如图所示，已知M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则
4、MN与CD1所成的角为_答案60解析连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1MN，故AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于ACAD1D1C，故AD1C60，则MN与CD1所成的角为60.3P45例2如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，故ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，E
5、F綊AC，EH綊BD，ACBD且ACBD.题组三易错自纠4若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；C项，如图所示，在正方体ABCDABCD中，设AD为直线l，AB为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；D项，若P在P2点，则直线CC及DP2均与l，m异面
6、，D错5下列命题正确的有_(填序号)若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平面平行；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面答案解析正确；错误，直线l与平面相交时，仍有无数个点不在平面内；错误，直线l与平面内过该交点的直线不是异面直线；错误，另一条直线可能在该平面内；正确6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变
7、化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对题型一平面基本性质的应用典例如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.
8、同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP
9、，A1C1EFQ，求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线证明如图(1)EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，DB确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q，则Q是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C，R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线题型二判断空间两直线的位置关系典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都
10、不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾故l至少与l1，l2中的一条相交方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确(2)(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析在
11、图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接GM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练 (1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充
12、分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立题型三求异面直线所成的角典例 (2018南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成
13、角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.引申探究将上例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，试求的值解设t，则AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角跟踪训练在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析如图，过E点作EMAB，过M点作MNAD，取MN的中点G，所以平面EMN平面ABCD，EGBF，异面直线BF与D1E所成的角，转化为D1EG，不妨设正方体的棱长为2，GE，D1G，D1E3，在D1GE中，由余弦定理cosD1EG，故选D.构造模型判断空间线面位置关系
