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1、上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1. 函数的零点是 2. 计算: 3. 若的二项展开式中项的系数是,则 4. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为 5. 若、满足,则目标函数的最大值为 6. 若复数满足,则的最大值是 7. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形,则该圆锥的体积是 8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则 9. 若,则的值为 10. 若为等比数列,且,则的最小值为 11. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,. 若为钝角,则的面积为 12. 已知非零向量、不
2、共线,设,定义点集. 若对于任意的,当,且不在直线上时,不等式恒成立,则实数的最小值为 二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 已知函数的图象如图所示,则的值为( ) A. B. C. D. 14. 设A、B是非空集合,定义:且.已知,则等于( )A. B. C. D. 15. 已知,则“”是“直线与平行”的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为,棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为( ) A. B. C. D. 三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17
3、. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润y(单位:元)与营运天数x满足函数关系式.(1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大?18. 如图,在棱长为1的正方体中,点E是棱AB上的动点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成的角是45,请你确定点E的位置,并证明你的结论.19. 已知数列,其前项和为,满足,其中,.(1)若,(),求数列的前项和;(2)若,且,求证:数列是等差数列.20. 已知椭圆,直线不过原点O且不平行于坐标轴,与有两 个交点A、B
4、,线段AB的中点为M.(1)若,点K在椭圆上,、分别为椭圆的两个焦点,求的范围;(2)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(3)若过点,射线OM与交于点P,四边形能否为平行四边形? 若能,求此时的斜率;若不能,说明理由21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立,则称为函数.(1)设函数,试判断是否为函数,并说明理由;(2)设函数,其中常数,证明:是函数;(3)若是定义在上的函数,且函数的图象关于直线(m为常数)对称,试判断是否为周期函数?并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5
5、分,共54分)1. 函数的零点是 【解析】2. 计算: 【解析】3. 若的二项展开式中项的系数是,则 【解析】4. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为 【解析】5. 若、满足,则目标函数的最大值为 【解析】三个交点为、,所以最大值为36. 若复数满足,则的最大值是 【解析】结合几何意义,单位圆上的点到的距离,最大值为27. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形,则该圆锥的体积是 【解析】8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则 【解析】9. 若,则的值为 【解析】,10. 若为等比数列,且,则的最小值为 【解析】11. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,. 若
6、为钝角,则的面积为 【解析】,12. 已知非零向量、不共线,设,定义点集. 若对于任意的,当,且不在直线上时,不等式恒成立,则实数的最小值为 【解析】建系,不妨设,设,即,点在此圆内,二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 已知函数的图象如图所示,则的值为( ) A. B. C. D. 【解析】,选C14. 设A、B是非空集合,定义:且.已知,则等于( )A. B. C. D. 【解析】,选A15. 已知,则“”是“直线与平行”的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要【解析】推出直线平行或重合,选B16. 已知长方体的表面积为,棱长的
7、总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为( ) A. B. C. D. 【解析】设三条棱,整理得, 最短棱长为1,体对角线长为,选D三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的营运累计利润y(单位:元)与营运天数x满足函数关系式.(1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大?【解析】(1)要使营运累计收入高于800元,令, 2分解得. 5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间
8、.7分(2) 9分 当且仅当时等号成立,解得 12分 所以每辆单车营运400天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为20元每天 .14分18. 如图,在棱长为1的正方体中,点E是棱AB上的动点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成的角是45,请你确定点E的位置,并证明你的结论.【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则, C(0,1,0) ,D1(0,1,2) ,A1(1,0,1),设(1)证明:,2分 4分 所以DA1ED1. 6分另解:,所以. 2分又,所以. 4分所以 6分(2)以A为原点,AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系7分所以、,设,则 8分设平面CED
9、1的法向量为,由可得,所以,因此平面CED1的一个法向量为 10分由直线与平面所成的角是45,可得 11分可得,解得 13分由于AB=1,所以直线与平面所成的角是45时,点在线段AB中点处. 14分19. 已知数列,其前项和为,满足,其中,.(1)若,(),求数列的前项和;(2)若,且,求证:数列是等差数列.【解析】(1),所以.两式相减得.即 2分所以,即, 3分又,所以,得 4分因此数列为以2为首项,2为公比的等比数列.,前n项和为 7分(2)当n = 2时,所以. 又,可以解得, 9分所以,两式相减得即. 猜想,下面用数学归纳法证明: 10分 当n = 1或2时,猜想成立; 假设当()时
10、, 成立则当时,猜想成立.由、可知,对任意正整数n,. 13分所以为常数,所以数列是等差数列. 14分另解:若,由,得,又,解得 9分由, ,代入得,所以,成等差数列,由,得,两式相减得:,即所以 11分相减得:所以所以, 因为,所以,即数列是等差数列.14分20. 已知椭圆,直线不过原点O且不平行于坐标轴,与有两 个交点A、B,线段AB的中点为M.(1)若,点K在椭圆上,、分别为椭圆的两个焦点,求的范围;(2)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(3)若过点,射线OM与交于点P,四边形能否为平行四边形? 若能,求此时的斜率;若不能,说明理由【解析】(1)椭圆,两个焦点、,设所以由于,所以,
11、 3分由椭圆性质可知,所以5分(2)设直线(),所以为方程的两根,化简得,所以,. 8分,所以直线的斜率与的斜率的乘积等于为定值. 10分(3)直线过点,不过原点且与有两个交点的充要条件是,设 设直线(),即.由(2)的结论可知,代入椭圆方程得12分由(2)的过程得中点, 14分若四边形为平行四边形,那么M也是OP的中点,所以,得,解得所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形 16分21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立,则称为函数.(1)设函数,试判断是否为函数,并说明理由;(2)设函数,其中常数,证明:是函数;(3)若是定义在上的函数,且函数的图象关于直线(m为常数)对称,试判断是否为周期函数?并证明你的结论.【解析】(1)是函数 . 1分理由如下:的定义域为,只需证明存在实数,使得对任意恒成立.由,得,即.所以对任意恒成立. 即 从而存在,使对任意恒成立.所以是函数. 4分(2)记的定义域为,只需证明存在实数,使得当且时,恒成立,即恒成立