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1、顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i个顺序统计量(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量(i）0,axb(这里可以设a=,b=+)，并且1,2，n取自这一母体的一个子样，则第i个顺序统计量(i)的密度函数4.设母体有密度函数f(x)0,axb(这里可以设a=,b=+)，并且1,2，n取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量(i）(j)的密度函数为关键词 最小顺序统计量，最大顺
2、序统计量，第i个顺序统计量(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量(i）(j)的密度函数引言顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。定义定义1：设(X1，X2，Xn)是总体X的一个样本，假如样本的实值函数g(X1，X2，Xn)不依赖任何未知的量，则称g(X1，X2，Xn)为统计量。设1,2，n是取自函数F(x)的母体的一个字样，x1,x2，xn表示这样的一组观测值。这些观测值由小到大的
3、排列用x(1),x(2),x(n)表示，即x(1)x(2)x(n)。若其中有两个分量xi与xj相等，他们先后顺序的安排是可以任意的。定义2 第i个顺序统计量(i)是上述子样1,2，n这样的一个函数，不论子样1,2，n取怎样的一组观测值x1,x2,，xn,它总是取其中的x(i)为观测值。显然，对于容量为n的子样可也得到n个顺序统计量(1)(2)(n).其中(1)称为最小顺序统计量，(n)称为最大顺序统计量。第一部分离散型随机变量的顺序统计量设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量，已知其分布率为不妨设若假定有限个数为m，则又，是它的一个容量为你的子样，为子样的第k个顺序统计量.
4、计算=的概率为。设j表示子样值的顺序序列中一个等于的值的序号，l表示最后一个等于值的序号，有，于是按顺序统计量定义，上诉事件即是表示子样，中有j-1个取值小于，有l-j+1个取值等于，有n-1个取值大于。可以分四步推导概率：1（1） 在子样值的顺序序列中，在前有j-1个样本值,概率分别为，由于样本与母体同分布，且相互独立，所以有由于j-1个样本可以是n个样本中任意j-1个，所以概率为（2) 在子样值的顺序序列中有l-j+1个样本，概率分别为由于这l-j+1个样本可以是俞夏的n-j+1个样本中任意l-j+1个，所以概率为（3) 在子样值的顺序序列中，在后面有n-lg样本值，概率分别为（4) 将上
5、列三部分综合起来，并考虑j与l在情况下的变动，得到离散型随机变量顺序统计量的分布律：由推导过程可知，运用结果时应约定推论离散型随机变量子样最小值的分布律为离散型随机变量子样最大值的分布律为例1如果1,2，n这是来自同一母体的n个相互独立随机变量，那么顺序统计量(1)，(2)，(n）是否也相互独立呢？2012P1/31/31/3设1,2，3为取自母体的一个容量为3的子样，的分布列为123(1)(2)(3)0000000010010100011000010020020200022000021100111010110110110120120210121020121200122010122100120
6、22022202022220022111111112112121112211112122122212122221122222222现在把子样1,2，3与由它们所构成的顺序统计量(1)，(2)，(3)的一切可能观测值列于下表中123(1)(2)(3)000000001001010001100001002002020002200002110011101011011011012012021012102012120012201012210012022022202022220022111111112112121112211112122122212122221122222222由于子样（1,2，3）取到每
7、一组观测值的概率都等于1/27，容易从表中看出以下几点：(1)，(2)，(3)的分布列分别为：(1)012P19/277/271/27(2)012P7/2713/277/27(3)012P1/277/2719/27另外：的分布列还可以用以下的方法求解：（）的取值有27种，其中：（1）.最小顺序统计量取0的个数可以通过如下方法计算：三个0，一种。两个0，一个1，三种。两个0，一个2，三种。一个0两个1，三种。一个0两个2，三种。一个0一个1一个2，六种。一共有19种。所占的概率为。（2）.最小顺序统计量取1的个数：三个1，一种。两个1一个2，三种。一个1两个2，三种，一共7种。所占的概率为。（3
8、）.最小顺序统计量取2的个数：三个2，一种。所占的概率为。（1）.第2个顺序统计量取0的个数：三个0，一种，两个0，一个1，三种。两个0，三个2，三种。一共7种，所占的概率为。（2）. 第2个顺序统计量取1的个数：三个1，一种。两个1一个2，三种。一个0，一个1，一个2，六种。一共13种，所占的概率为。（3）. 第2个顺序统计量取2的个数：三个2，一种。一个0两个2，三种。一个1两个2，三种，共7种，所占的概率为。（1）.最大顺序统计量取0的个数：三个0，一种。所占概率为。（2）.最大顺序统计量取1的个数：三个1，一种。两个1，一个0，三种。一个1.两个0.三种。共7种，所占比例为。(3).
9、最大顺序统计量取2的个数:三个2，一种，两个2，一个0，三种。两个2，一个1，三种。一个2两个0，三种，一个2两个1，三种，一个2，一个0，一个1，六种。共19种，所占概率为。（1） (i)与(j)(i0,axb(这里可以设a=,b=+)，并且1,2，n取自这一母体的一个子样，则第i个顺序统计量(i)的密度函数为3例2设母体有密度函数并且(1)(2)(3)解：母体的分布函数为由定理1知道(3)=定理2设母体有密度函数f(x)0,axb(这里可以设a=,b=+)，并且1,2，n取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量(i）(j)的密度函数为例3设母体的分布函数是连续型的,为取自此母体的子样
10、的顺序统计，设 试证:(1) ，且是来自均匀分布母体的顺序统计量;(2) (3) 和的协方差矩阵为，其中 证: (1) 因为是连续型,分布函数为.则服从均匀分布.又因为（i）是取自母体的子样的顺序统计量.单调下降.所以有，从而得出是取自均匀分布母体的子样的顺序 统计量， (2) 的密度函数为 . (3) 对任意的 和的联合密度函数为 因而 =令 所以的方差矩阵为 .例4.设电子元件的寿命X服从参数为的指数分布。测试了6个元件，分别记录他们失效的时间（单位：h）.试求（1）至800h，没有一个元件失效的概率；（2）至3000h时，所有元件都失效的概率。解：X的概率密度函数和分布函数分别为：f(x)= F(x)= (1)由式（1），极小顺序统计量的概率密度函数和分布函数分别为：至800h没有一个元件失效的概率为（2）由式（2）极大顺序统计量的概率密度函数和分布函数分别为至3000h时，所有元件都失效的概率为：P（3000）=（3000）=参考文献1 夏圣亭，离散型随机变量的顺序统计量的分布J，工科数学，第16卷
