《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第5章 数列 5.4 数列求和 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第5章 数列 5.4 数列求和 （26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、54 数列求和 知识梳理 1基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Snna1d. na1an 2 nn1 2 (2)等比数列求和公式： SnError!Error! 2非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相 减法；(5)裂项相消法 常见的裂项公式： ； 1 nnk 1 k( 1 n 1 nk) ； 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) ； 1 nn1n2 1 2 1 nn1 1 n1n2 () 1 n nk 1 knkn 3常用求和公式 (1)1234n； nn1 2 (2)1357(2n1)n2； (3)122232
2、n2； nn12n1 6 (4)132333n3 2. nn1 2 诊断自测 1概念辨析 (1)已知等差数列an的公差为 d，则有.( ) 1 anan1 1 d( 1 an 1 an1) (2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可 求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.( ) (3)求 Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘 以 a 即可根据错位相减法求得( ) (4)若数列 a1，a2a1，anan1是(n1，nN*)首项为 1， 公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an.( ) 3n1 2 答案 (1) (2) (3
3、) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5 P47T4)数列an中，an，若an的前 n 项和 1 nn1 为，则项数 n 为( ) 2017 2018 A2014 B2015 C2016 D2017 答案 D 解析 an ，Sn1，又前 n 项和为， 1 n 1 n1 1 n1 n n1 2017 2018 所以 n2017.故选 D. (2)(必修 A5 P38T8)一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后 又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是 ( ) A100200(129) B100100(129) C200(129) D100(129) 答案 A 解
4、析 第 10 次着地时，经过的路程为 1002(502510029) 1002100(212229) 100200100200(129)故选 A. 21129 121 3小题热身 (1)数列an的通项公式为 anncos，其前 n 项和为 Sn，则 n 2 S2018等于( ) A1010 B2018 C505 D1010 答案 A 解析 易知 a1cos 0，a22cos2，a30，a44，. 2 所以数列an的所有奇数项为 0，前 2016 项中所有偶数项(共 1008 项)依次为2,4，6,8，2014,2016.故 S20160(24) (68)(20142016)1008.a2017
5、0，a20182018cos 2018，S2018S2016a2018100820181010.故选 A. 2018 2 (2)设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_. 答案 1 n 解析 an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由 a11， 知 Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而 1 Sn 1 Sn1 1 Sn 1，1(n1)(1)n，Sn . 1 S1 1 a1 1 Sn 1 n 题型 1 错位相减法求和 已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数 典例 列，且 anbnbn1. (1)求数列bn的通项公式； (2)令 cn，求数列c
6、n的前 n 项和 Tn. an1n1 bn2n 利用 anSnSn1(n2)、方程思 想、错位相减法 解 (1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5. 当 n1 时，a1S111，所以 an6n5. 设数列bn的公差为 d. 由Error!Error!即Error!Error! 可解得 b14，d3，所以 bn3n1. (2)由(1)知 cn3(n1)2n1. 6n6n1 3n3n 又 Tnc1c2cn， 得 Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2， 两式作差，得Tn322223242n1(n1) 2n233n2n2，所以 4 412n 12 n1 2n
7、2 Tn3n2n2. 方法技巧 利用错位相减法的一般类型及思路 1适用的数列类型：anbn，其中数列an是公差为 d 的等差 数列，bn是公比为 q1 的等比数列 2思路：设 Sna1b1a2b2anbn，(*) 则 qSna1b2a2b3an1bnanbn1，(*) (*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转 化为根据公式可求的和如典例 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号 (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n1 项和当 作 n 项和 冲关针对训练 已知首项都是 1 的两个数列an，bn(b
8、n0，nN*)满足 anbn1an1bn2bn1bn0. (1)令 cn，求数列cn的通项公式； an bn (2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn. 解 (1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0(bn0，nN*)，所以 2，即 cn1cn2. an1 bn1 an bn 所以数列cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故 cn2n1. (2)由 bn3n1知 ancnbn(2n1)3n1，于是数列an的前 n 项 和 Sn130331532(2n1)3n1， 3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n， 相减得2Sn12(31323n1)(2n1) 3n2(2
9、n2)3n， 所以 Sn(n1)3n1. 题型 2 裂项相消法求和 Sn为数列an的前 n 项和，已知 典例 an0，a 2an4Sn3. 2 n (1)求an的通项公式； (2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 1 anan1 利用递推公式，anSnSn1(n2)求 通项，裂项相消求和 解 (1)由 a 2an4Sn3，可知 a2an14Sn13. 2 n2n1 可得 aa 2(an1an)4an1， 2n12 n 即 2(an1an)aa (an1an)(an1an) 2n12 n 由于 an0，所以 an1an2. 又由 a 2a14a13，解得 a11(舍去)或 a13. 2 1 所
10、以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1. (2)由 an2n1 可知 bn. 1 anan1 1 2n12n3 1 2( 1 2n1 1 2n3) 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn Error!Error! 1 2 Error!Error!. n 32n3 条件探究 将典例中的条件变为：已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 1 anan1 解 (1)因为 S1a1，S22a122a12， 2 1 2 S44a124a112， 4 3
11、 2 由题意得(2a12)2a1(4a112)， 解得 a11，所以 an2n1. (2)由 an2n1 可知 bn. 1 anan1 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 1 2 . (1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 5 1 7)( 1 2n1 1 2n1) n 2n1 结论探究 条件探究中的条件不变，求解(2)变为：令 bn(1)n1，求数列bn的前 n 项和 Tn. 4n anan1 解 bn(1)n1(1)n1(1)n1 4n anan1 4n 2n12n1 . ( 1 2n1 1 2n1) 当 n 为偶数
12、时， Tn1 (1 1 3) ( 1 3 1 5) ( 1 2n3 1 2n1) ( 1 2n1 1 2n1) . 1 2n1 2n 2n1 当 n 为奇数时，Tn (1 1 3) ( 1 3 1 5) ( 1 2n3 1 2n1) 1. ( 1 2n1 1 2n1) 1 2n1 2n2 2n1 所以 TnError!Error!. (或Tn 2n11n1 2n1 ) 方法技巧 几种常见的裂项相消及解题策略 1常见的裂项方法(其中 n 为正整数) 数列裂项方法 (k 为非零常 1 nnk 数) 1 nnk 1 k( 1 n 1 nk) 1 4n21 1 4n21 1 2( 1 2n1 1 2n
13、1) 1 n nk () 1 n nk 1 knkn loga(1 1 n) (a0，a1) logaloga(n1)logan (1 1 n) an为等差数列，公差 为 d(d0)， 1 anan1 1 anan1 1 d( 1 an 1 an1) 2.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式 裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等 冲关针对训练 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且满足 Sn an1n1(nN*) 1 2 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bnlog3(an1)，设数列的前 n 项和为 Tn，求 1 bnbn2 证：Tn100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数 幂那么该款软件的激活码是( ) A440 B330 C220 D110 答案 A 解析 设 1(12)(122n1)(122t) 2m(其中 m，n，tN,0tn)，则有 Nt1，因为 nn1 2 N100，所以 n13. 由等比数列的前 n 项和公式可得 2n1n
