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1、参数方程一、定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数,即,其中,t为参数,并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数注意:参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程:特殊:圆心是(0,0),半径为r的圆:一般:圆心在(x0,y0),半径等于r的圆:(为参数,的几何意义为圆心角),Eg1:已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求:(1)x2+
2、y2的最值;(2)x+y的最值;(3)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2:将下列参数方程化为普通方程(1) x=2+3cos (2) x=sin (3) x=t+ y=3sin y=cos y=t2+总结:参数方程化为普通方程步骤:(1)消参(2)求定义域2、椭圆的参数方程:中心在原点,焦点在x轴上的椭圆:(为参数,的几何意义是离心角,如图角AON是离心角)注意:离心率和离心角没关系,如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,M点的轨迹是椭圆,中心在(x0,y0)椭圆的参数方程: Eg:求椭圆=1上的点到M(2,0)的最小值。3、双曲线的参数方程:中心在原点,焦点在x轴上的双
3、曲线: (为参数,代表离心角),中心在(x0,y0),焦点在x轴上的双曲线: 4、抛物线的参数方程:顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线:(t为参数,p0,t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数)直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线(直线)的参数方程过定点P0(x0,y0),倾角为的直线, P是直线上任意一点,设P0P=t,P0P叫点P到定点P0的有向距离,在P0两侧t的符号相反,直线的参数方程 (t为参数,t的几何意义为有向距离)说明:t的符号相对于点P0,正负在P0点两侧 P0P=t直线参数方程的变式: ,但此时t的几何意义不是有向距离,只有当t前面系数的平方和是1时,几何意义
4、才是有向距离,所以,将上式进行整理,得 ,让作为t,则此时t的几何意义是有向距离。Eg:求直线 x=-1+3t y=2-4t,求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题基础训练A组一、选择题1若直线的参数方程为,则直线的斜率为( )A B C D2下列在曲线上的点是( )A B C D 3将参数方程化为普通方程为( )A B C D 4化极坐标方程为直角坐标方程为( )A B C D 5点的直角坐标是,则点的极坐标为( )A B C D 6极坐标方程表示的曲线为( )A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆二、填空题1直线的斜率为_。2参数方程的普通方程为_。3已知直线与直线相交于
5、点,又点,则_。4直线被圆截得的弦长为_。三、解答题1已知点是圆上的动点,(1)求的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围。2求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离。3在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值。 综合训练B组一、选择题1直线的参数方程为,上的点对应的参数是,则点与之间的距离是( )A B C D 2参数方程为表示的曲线是( )A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线和圆交于两点,则的中点坐标为( )A B C D 4圆的圆心坐标是( )A B C D 5与参数方程为等价的普通方程为( )A B C D 6直线被圆所截得的弦长为( )A B C D 二、填空题
6、1曲线的参数方程是,则它的普通方程为_。2直线过定点_。3点是椭圆上的一个动点,则的最大值为_。4曲线的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程为_。5设则圆的参数方程为_。三、解答题1点在椭圆上,求点到直线的最大距离和最小距离。2已知直线经过点,倾斜角,(1)写出直线的参数方程。(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。极坐标与参数方程练习题答案 基础训练A组一、选择题 1D 2B 3C 4C5C 6C 二、填空题1 2 3 4 三、解答题1解:(1);(2) 2 3综合训练B组一、选择题 1C 2D 3D 4A 5D 6C 二、填空题1 2 3 4 5 ,当时,;当时,; 而,即,得三、解答题1当时,;当时,。2解:(1) (2)9