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1、实验二 自适应信号滤波实验报告班 级： 姓 名： 学 号： 实验二 自适应信号滤波一、实验目的1 利用自适应LMS算法实现FIR最佳维纳滤波器。2 观察影响自适应 LMS算法收敛性，收敛速度以及失调量的各种因素，领会自适应信号处理方法的优缺点。3 通过实现AR模型参数的自适应估计，了解自适应信号处理方法的应用。二、实验原理如果信号是由有用信号和干扰信号组成，即（21）利用维纳滤波方法可以从信号中得到有用信号的最佳估计。假如最佳维纳滤波器由一个FIR滤波器所构成，则其最佳权系数向量h可表示为 （22）其中 （23）（24） （25） （26）但是实际中，一般很难知道准确的统计量R和r，因此，若设
2、计一个维纳滤波器,事先要估计出R和r。同时，当R和r改变时（如果信号或干扰是非平稳的），需要重新计算h，这是非常不方便的。虽然卡尔曼滤波方法无需事先知道R和r，但它必须知道系统的状态方程和噪声的统计特性，这在实际中也是很难办到的。根据卡尔曼滤波的思想，Widrow等提出了一种自适应最小均方误差算法(LMS)，这种算法不需要事先知道相关矩阵R和r，当得到一个观察值，滤波器自动“学习”所需要的相关函数，从而调整FIR滤波器的权系数，并最终使之收敛于最佳值，即维纳解。下面是自适应FIR维纳滤波器的LMS算法公式： （27）（28） （29）因此，给定初始值，每得到一个样本，可以递归得到一组新的滤波器
3、权系数，只要步长满足 （210）其中为矩阵R的最大特征值，当时，收敛于维纳解。 为说明自适应滤波方法的基本原理，我们首先考察一个最简单的滤波器，它仅有一个权系数（如图2.1所示）。假如信号由下式确定: （211）（212）图2.1其中为常数，与互不相关，我们希望利用和得到的估计。 利用公式（2-7），（2-8）和（2-9），我们可以得到下面的自适应估计算法： （213） （214）其框图如图2.2所示。 图2.2 选择的初始值为，对式（2-14）取数学期望可得： （215） 其中 （216）因此，只要满足 （217） 的条件，总归可以收敛于最佳值h，从而也逐渐地收敛于。自适应信号处理方法的应用
4、十分广泛，其中一个非常重要的方面是用来进行参数估计。本实验第二部分就是利用LMS算法实现AR模型参数的估计。 我们已经知道，如果信号为一个M阶的AR模型，即 （218）通过解Yule-Walker方程可以得到AR模型的参数估计，同样，利用LMS算法，我们也可以对AR模型的参数估计进行自适应估计，其算法如下： （219） （220） （221）这种算法的实现框图如图2.3所示。 图2.3 同样可以证明，只要步长值选择合适，当时，上述自适应算法得到的也收敛于AR模型的参数。三、实验步骤及结果分析 1 仔细阅读有关自适应滤波的内容，根据图2.4给出的框图，编制自适应滤波的通用程序。程序代码见附录一。
5、2 运行自适应滤波程序，观察并记录：1）和有何差异，分析原因。2）自适应滤波效果如何（比较和）？1）实验结果如图1所示：从图中可以看出，随着样本个数L的增多，趋近于h=-0.8，而在h附近波动。由（2-15）得到，当时，的值就随着n的增大而趋近于h2）实验结果如图2所示：随着L的增大，s(n)的估计值与真实值在图中可以看出越来越接近。图1 h(n)估计值及估计值的期望 图2 s(n)及估计值3 根据框图2.4产生100个样本和，利用实验一维纳滤波估计和，即将作为自适应滤波系统的输入，作为参考信号，自适应估计得出，再将与估计出的相卷积得到的估计。并与步骤2中的结果比较。由维纳滤波原理，期望找到使
6、得取最小值的。由此可得： 则： 由代码运算可见，1000次运算的维纳滤波算法估计的h的均值为-0.8008，而用使用步骤2中的方法1000次平均为-0.7991。维纳滤波出来的结果略优于自适应滤波估计出的h。4 改变，其它条件同步骤2，运行自适应滤波程序，观察并记录值的大小对的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。当时，估计出的随迭代次数的变化如图3所示，s(n)的估计值与真值的差异如图4所示：图3 h(n)估计值及估计值的期望 图4 s(n)及估计值当时，如图5，图6所示： 图5 h(n)估计值及估计值的期望 图6 s(n)及估计值当时，如图7，图8所示： 图7 h(n)估计值及估计值的期望 图
7、8 s(n)及估计值由上可见，当步长越小时，收敛速度越慢，当超过1时，不再收敛。这是因为时才收敛，而这里R=1。而失调量M随着的增大而变大5 改变，其它条件同步骤2，运行程序，观察的方差对自适应算法的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。时，实验结果如图9所示：1）对自适应算法的收敛速度没有影响。这是因为时间常数只取决于和，是特征值，因为与不相关，所以R与无关，即对R没有影响，也就对没有影响，所以与无关，对收敛速度没有影响。2）对收敛性无影响。只要即可收敛，与无关。3）对失调量也没有影响。失调量与噪声无关，所以对失调量无影响。图9 h(n)估计值及估计值的期望 图10 的收敛情况6 仔细阅读有关自
8、适应系统仿真的内容，按照图2.5给出的框图,编制自适应AR模型参数估计程序。程序代码见附录二。7 运行自适应AR模型参数估计程序,选择,，观察并记录的收敛情况及 和。参数取时，的收敛情况如图10所示。8 利用100个，通过实验一解Yule-Walker方程的方法，得和估计和，与步骤7中的和比较，有什么差别？为什么？ 条件同步骤7时，使用实验一的解Yule-Walker方程方法，作1000次实验取平均获得的估计如下：，而用自适应的参数估计方法进行1000次的参数估计值平均值为。可见该估计值比自适应系统仿真算法得到的和 要更接近理想值和。9. 改变噪声的方差，其它条件同步骤7，观察的方差对自适应算
9、法的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。当时，的收敛情况如图11：图11 图12当样本个数L=2000时，的收敛情况如图12：1）由上可见，估计值收敛很慢。如果对于原来的步长收敛的话，那么改变噪声方差，对收敛性没有影响。 2）变小，时间常数变大，收敛速度变慢。 3）按照失调量的定义，由于使用估计的梯度代替统计梯度，导致权值向量的随机起伏，这种随机起伏表现在均方误差上即为失调量。噪声方差的减小会使失调量减小，原因是噪声方差减小后，梯度估计更加准确，所以权值波动减小，进而均方误差波动减小，失调量减小，从表达式上看就是自相关矩阵的迹减小。四、思考题1 在公式（2-11）中，和的方差变化对自适应算法的收
10、敛性，收敛速度，失调量以及值的选择范围有何影响？答：由于与的线性关系，方差增大即的方差增大；而的方差增大会导致自相关矩阵的迹的增大，进而使得失调量增大，的收敛范围减小，收敛速度加快。由上可知，收敛性，收敛速度，失调量，的收敛范围只与有关，所以的方差变化对收敛性，收敛速度，失调量没有影响。2 推导公式（2-19）至公式（2-21）答：由LMS算法的原理：的取值应该向均方误差对的负梯度方向变化。五、附录附录一（自适应滤波源代码）clc;clear;%hewne=zeros(1000,1);%hee=zeros(1000,1);%for c=1:1000%sigma2=0.01;%L=100;%u=
11、0.03;%h=-0.8;sigma2=input(噪声方差=);L=input(样本个数=);u=input(步长=);h=input(h初始值=);%he(L,1)=0;%x=randn(L,1);%w=sqrt(sigma2)*randn(L,1);%s=h*x;%y=s+w;figure(1)plot(1:L),s,r-*);hold onplot(1:L),y,b);title(s与y序列值);xlabel(自变量);ylabel(函数值);legend(s序列,y序列);%Rxx=xcorr(x,unbiased);%Rxy=xcorr(x,y,unbiased);%hewn=Rx
12、y(L)/Rxx(L);%for i=1:L% se(i)=he(i)*x(i);% he(i+1)=he(i)+2*u*(y(i)-he(i)*x(i)*x(i); % Ehe(i)=(1-2*u*Rxx(L)i*(0-h)+h;%endfigure(2)plot(1:L),s,r-*);hold onplot(1:L),se,b);title(s与se序列值);xlabel(自变量);ylabel(函数值);legend(s序列,se序列);%figure(3)plot(1:L),s,r-*);hold onplot(1:L),se,b);title(Ehe与he序列值);xlabel(迭代次数);ylabel(函数值);legend(Ehe序列,he序列);%hewne(c)=hewn;%hee(c)=he(L);%end%ehewn=mean(hewne)%ehe=mean(hee)附录二（AR模型参数估计源代码）clc;clear;%aee=zeros(1000,2);%aewne=zeros(1000,2);%for c=1:1000%M=2;%u=0.01;%sigm
