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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数满足，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A （3）【2014年广东，理3，5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（ ）（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】C【解析】画出可行域，易知在点与处目标函数分别取得最大值，与最小值，故选C（4
2、）【2014年广东，理4，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）（A）离心率相等 （B）虚半轴长相等 （C）实半轴长相等 （D）焦距相等【答案】D【解析】，从而两曲线均为双曲线，又，两双曲线的焦距相等，故选D（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为，故选A（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）（A）200
3、,20 （B）100,20 （C）200,10 （D）100,10【答案】A【解析】样本容量为，抽取的高中生近视人数为：，故选A（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）（A） （B） （C）既不垂直也不平行 （D）的位置关系不确定【答案】D【解析】平面中的四条直线，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D（8）【2014年广东，理8，5分】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）（A）60 （B）90 （C）120 （D）130【答案】D【解析】可取，和为1的元素个数为：；和为2的元素个数为：；和为3的元素个数为：，故满足条件的
4、元素总的个数为，故选D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913）（9）【2014年广东，理9，5分】不等式的解集为 【答案】【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2，故该不等式的解集为：（10）【2014年广东，理10，5分】曲线在点处的切线方程为 【答案】【解析】，所求切线方程为，即（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 【答案】【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为（12）【2014年广东，
5、理12，5分】在中，角所对应的边分别为，已知，则 【答案】2【解析】解法一：由射影定理知，从而， 解法二：由上弦定理得：，即，即， 解法三：由余弦定理得：，即，即（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列的各项均为正数,且,则 【答案】50【解析】，设，则，（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 【答案】【解析】即，故其直角坐标方程为：，的直角坐标系方程为：，与的交点的直角坐标为（
6、15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 【答案】9【解析】显然， 三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数，且（1）求的值；（2）若，求解：（1）， （2）由（1）得：，（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数
7、据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率30.1250.2080.32（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率解：（1），（2）频率分布直方图如下所示：（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间的概率为，设日加工零件数落在区间的人数为随机变量，则，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率为：（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形 为正方形，平面，于点，交于点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值解：（1）平面，平面平面，平面
8、平面，平面，平面，平面，又，平面，平面（2）解法一：过作交于，平面，平面，过作于，连 则为二面角的平面角，设，从而，即，还易求得，从而，易得，故，解法二：分别以，为，轴建立空间直角坐标系，设，则，设，则，可得，从而，易得，取面的一个法向量为，设面的一个法向量为，利用，且，得可以是，从而二面角的余弦值为（19）【2014年广东，理19，14分】设数列的前和为,满足，且（1）求的值；（2）求数列的通项公式解：（1） ， 联立解得，综上，（2） 当时， 并整理得：，由（1）猜想，以下用数学归纳法证明： （）由（1）知，当时，猜想成立； （）假设当时，猜想成立，即，则当时， 这就是说时，猜想也成立，从
9、而对一切，（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程解：（1），椭圆的标准方程为：（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程中并整理得：，依题意，即，即，两切线相互垂直，即，显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为（21）【2014年广东，理21，14分】设函数，其中（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论在区间上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）解：（1），则 或 由得：， 方程的解为，由得或， 由得，方程的判别式， 该方程的解为，由得，（2）设，则 ，（）当时，；（）当时，；（）当时，；（）当时，综上，在上的单调增区间为：， 在上的单调减区间为：（3）设，由（1）知，当时，； 又，显然，当时， 从而不等式，（）当时，欲使，即， 亦即，即；（）时，此时，即； （）时，不合题意； （）时， 不合题意；（）时，欲使，则， 即，从而 综上所述，的解集为：6
