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1、课时作业 12 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用|基础巩固基础巩固|(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知自由落体运动的速度 vgt(g 是常数)，则做自由落体运动的物体从 时刻 t0 到 tt0所走的路程为( ) A. Bgt gt2 0 32 0 C. D. gt2 0 2 gt2 0 6 解析：由定积分的物理意义，得所走的路程为 答案：C 2曲线 yx3与直线 yx 所围成图形的面积等于( ) A. (xx3)dx B. (x3x)dx 1 - 1 1 - 1 C2 (xx3)dx D2 (xx3)dx 1 0
2、0 - 1 解析：由Error!Error!求得直线 yx 与曲线 yx3的交点分别为(1，1)，(1,1)， 由于两函数都是奇函数，根据对称性得 S2 (xx3)dx. 1 0 答案：C 3如果某物体以初速度 v(0)1，加速度 a(t)4t 做直线运动，则质点在 t2 s 时的瞬时速度为( ) A5 B7 C9 D13 解析：v(2)v(0) a(t)dt 4tdt2t2Error!Error! 8.v(2)9. 2 0 2 02 0 答案：C 4如图，两曲线 y3x2与 yx22x1 所围成的图形面积是( ) A6 B9 C12 D3 解析：由Error!Error! 解得交点(1,2)
3、，(2，1)， 所以 S 1(3x2)(x22x1)dx 2 1(2x22x4)dx 2 Error!Error!9，故选 B. ( 2 3x3x24x) 答案：B 5一物体在力 F(x)3x22x5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿 与力 F(x)相同的方向由 x5 m 运动到 x10 m，则 F(x)做的功为( ) A925 J B850 J C825 J D800 J 解析：依题意 F(x)做的功是 WF(x)dx 10 5 (x3x25x)Error!Error!825(J) 10 5 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm
4、，则使弹簧伸长 12 cm 时克服弹力所做 的功为_ 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设 Fkx，求得 k50，F(x) 50x. W50xdx25x2Error!Error!0.36(J) 0.1200.120 答案：0.36 J 7由曲线 y2x，yx2所围图形的面积 S_. 解析：由Error!Error!得交点的横坐标为 x0 及 x1. 因此，所求图形的面积为 SS曲边梯形 OABCS曲边梯形 OABD dx x2dx 1 0x 1 0 x Error!Error! x3Error!Error! . 2 3 3 21 0 1 31 0 2 3 1 3 1 3 答案： 1 3 8
5、一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在 1 分钟内行驶的路程为 _ 解析：由速度时间曲线得 v(t)Error!Error! 汽车在 1 分钟内行驶的路程为 3tdtdt 10 0 60 10( 3 5t36) t2Error!Error!Error!Error! 3 210 0 ( 3 10t236t)6010 150750900 m. 答案：900 m 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9计算曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围成的平面图形的面积 解析：由Error!Error!解得 x0 或 x3.如图 从而所求图形的面积 S (x3)dx (x22x3)dx 3 0
6、3 0 (x3)(x22x3)dx 3 0 (x23x)dx 3 0 Error!Error! . ( 1 3x3 3 2x2)3 0 9 2 10如图所示，在区间0,1上给定曲线 yx2，试在此区间内确定 t 的值， 使图中阴影部分的面积 S1与 S2之和最小 解析：S1等于边长分别为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 yx2与 x 轴、直线 xt 围成的面积， 即 S1tt2 x2dx t3； t 0 2 3 S2等于曲线 yx2与 x 轴、xt、x1 围成的面积去掉一矩形面积，矩形边 长分别为 t2、1t， 即 S2 x2dxt2(1t) t3t2 . 1 t 2 3 1 3 所以阴影部分
7、面积 SS1S2 t3t2 (0t1) 4 3 1 3 令 S(t)4t22t4t0， (t 1 2) 得 t0 或 t ，易知当 t 时，S 最小， 1 2 1 2 所以最小值为 S . ( 1 2) 1 4 |能力提升能力提升|(20 分钟，分钟，40 分分) 11以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度 v4010t2，则 此物体达到最高时的高度为( ) A.m B.m 160 3 80 3 C.m D.m 40 3 20 3 解析：由 v4010t20，得到物体达到最高时 t2，高度 h (4010t2) 2 0 dtError!Error! (m) (40t 10
8、 3 t3) 2 0 160 3 答案：A 12如图，已知点 A，点 P(x0，y0)(x00)在曲线 yx2上，若阴影部分 (0， 1 4) 面积与OAP 面积相等，则 x0_. 解析：由题意得x00x2dx x0，即 x x0， 1 2 1 4 1 3 3 0 1 8 解得 x0. 6 4 答案： 6 4 13过原点的直线 l 与抛物线 yx24x 所围成图形的面积为 36，求 l 的方 程 解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线 l 的方程为 ykx， 则由Error!Error!， 得Error!Error!或Error!Error!. (1)当 k40，即 k4 时， 面积 S(k
9、xx24x)dx k40 Error!Error! ( 1 2kx2 1 3x32x2)k40 k(k4)2 (k4)32(k4)2 1 2 1 3 (k4)336， 1 6 k2，故直线 l 的方程为 y2x； (2)当 k40，即 k4 时， S k4(kxx24x)dx 0 Error!Error! ( 1 2kx2 1 3x32x2)0k4 1 2k42k 1 3k432k42 (k4)336， 1 6 k10，故直线 l 的方程为 y10x. 综上，直线 l 的方程为 y2x 或 y10x. 14如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B，C 运动到 D， 其中 AB5
10、0 m，BC40 m，CD30 m，变力 FError!Error!(F 的单位：N，x 的单 位：m)，在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30角，在 BC 段运动时 F 与运动方向 成 45角，在 CD 段运动时 F 与运动方向相同，求该物体由 A 运动到 D 变力 F 所做的功(精确到 1 J) 解析：在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1Fcos30，在 BC 段运动 时 F 在运动方向上的分力 F2Fcos45. 由变力做功公式，得： Wcos30dxcos45dx2030 50 0( 1 4x5) 90 50( 1 4x5) Error!Error!Error!Error!600 3 8( 1 2x220x)50 0 2 8( 1 2x220x)9050 4506001724(J) 1125 432
