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1、章末检测(三)导数及其应用时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数Df(x)g(x)为常数函数解析：由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)答案：C2函数y(a0)在xx0处的导数为0，那么x0()Aa Ba Ca Da2解析：y，由xa20得x0a.答案：B3
2、函数f(x)的单调递增区间是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)解析：函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x).令f(x)0，则0得1x0，由yx，得kx02，x03.答案：A7已知对任意实数x，有f(x)f(x)，且当x0时，有f(x)0，则当x0Cf(x)0 Df(x)0时，f(x)0，f(x)为增函数，当x0.答案：B8已知函数f(x)x32ax23x(aR)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，则m的值为()A B C. D.解析：f(x)x32ax23x，f(x)2x24ax3，过点P(1，m)的切线斜率kf(1)14a.又点P
3、(1，m)处的切线方程为3xyb0，14a3，a1，f(x)x32x23x.又点P在函数f(x)的图象上，mf(1).答案：A9设函数f(x)在R上可导，其导函数是f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：f(x)在x2处取得极小值，即x2，f(x)2，f(x)0，那么yxf(x)过点(0,0)及 (2,0)当x2时，x0，f(x)0；当2x0时，x0，y0时，f(x)0，y0，故C正确答案：C10某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32米，16米
4、B30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长为y米，则xy512，新墙的周长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.答案：A11对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点答案：A12f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正
5、数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(b)f(b) Dbf(b)f(a)解析：xf(x)f(x)0，0，所以函数在(0，)上是减函数，由0a，即af(b)1时，y0，当1x0，当x1时，y0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当0r3时，S3时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省答案：3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知函数f(x)xn1(nN*)的图象与直线x1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，求l
6、og2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值解析：函数的导数为f(x)(n1)xn，所以在x1处的切线斜率为kf(1)n1，所以切线方程为y1(n1)(x1)，令y0得xn.所以x1x2x2 012，所以log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 0131.18(12分)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间解析：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，由已知可得解得ab3.(2)
7、令F(x)f(x)g(x)x3ax2x1，F(x)3x22ax，令F(x)0，得x1，x2，a0，x10得，x；由F(x)0得，x，且当x1,4a时，f(x)a312a恒成立，试确定a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9，由f(x)0得x1或x3.当x0，当1x3时f(x)0，因此x1是函数的极大值点，极大值为f(1)6；当1x3时f(x)3时f(x)0，因此x3是函数的极小值点，极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a)，a，当1x3a时f(x)0；当3a0.x1,4a时f(x)的最小值为f(3a)26a3.由f(x)
8、a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a.解得a.又a，a.即a的取值范围为.20(12分)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间解析：(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表：x3(3，)f(x)00f(x)极大值极小
9、值f(x)的单调递增区间为，3，)，f(x)的单调递减区间为.21(13分)已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大的矩形两边长之比解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中0x0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点为(x,0)、(x,0)设矩形的面积为S，则S2x(4x2)(0x2)，则S86x2.令S0，得x或x(舍去)当0x0；当x2时，S0.因此，当x时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x，4x2.所以矩形的两边长分别为和时，矩形的面积最大此时两边长之比为2.22(13分)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(
