《2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末检测(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1根据偶函数定义可推得“函数 f(x)x2在 R 上是偶函数”的推理过程是( ) A归纳推理 B类比推理 C演绎推理 D非以上答案 解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选 C. 答案：C 2下面四个推理不是合情推理的是( ) A由圆的性质类比推出球的有关性质 B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，归纳出所有三角形 的内角和都是 180 C某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的
2、成绩都是 100 分 D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动 物都是用肺呼吸的 解析：A 是类比推理，B、D 是归纳推理，C 不是合情推理 答案：C 3用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a20” ，你认 为这个推理( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0” ，小前提是“a 是实数” ， 结论是“a20”显然结论错误，原因是大前提错误 答案：A 4设 n 为正整数，f(n)1 ，计算得 1 2 1 3 1 n f(2) ，f(4)2，f(6) ，f(8
3、)3，f(10) ，观察上述结果，可推测出一般结论为( ) 3 2 5 2 7 2 Af(2n) Bf(2n) n2 2 n2 2 Cf(2n) Df(n) n2 2 n 2 解析：观察所给不等式，不等式左边是 f(2n)，右边是，故选 B. n2 2 答案：B 5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*)，计算 S1，S2，S3，S4，可归纳猜想出 Sn的表达式为( ) A. B. 2n n1 3n1 n1 C. D. 2n1 n2 2n n2 解析：由 a11，得 a1a222a2，a2 ，S2 ； 1 3 4 3 又 1 a332a3，a3 ，S3 ； 1 3
4、 1 6 3 2 6 4 又 1 a416a4，得 a4，S4 ； 1 3 1 6 1 10 8 5 由 S1 ，S2 ，S3 ， 2 2 2 1 11 4 3 2 2 21 6 4 2 3 31 S4 ， 8 5 2 4 41 可以猜想 Sn. 2n n1 答案：A 6如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A一个是正数，一个是负数 B两个都是正数 C至少有一个是正数 D两个都是负数 解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和 一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾 答案：C 7已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 2 1 2 1 3 1 4 1 n
5、1 时，若已假设 nk(k2 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设 ( 1 n2 1 n4 1 2n) 再证( ) Ank1 时等式成立 Bnk2 时等式成立 Cn2k2 时等式成立 Dn2(k2)时等式成立 解析：因为假设 nk(k2 为偶数)，故下一个偶数为 k2，故选 B. 答案：B 8用数学归纳法证明 1222(n1)2n2(n1)22212时， n2n21 3 从 nk 到 nk1 时，等式左边应添加的式子是( ) A(k1)22k2 B(k1)2k2 C(k1)2 D. (k1)2(k1)21 1 3 解析：当 nk 时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，当 nk1
6、时， 左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212， 从 nk 到 nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2. 答案：B 9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当时， FB AB 其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ， 51 2 可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( ) A. B. 51 2 51 2 C.1 D.1 55 解析：如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则 F(c,0)， x2 a2 y2 b2 B(0，b)，A(a,0) (c，b)，(a，b) FB AB 又，b2ac0. FB AB FB AB c2a2ac0.e2e1
7、0. e或 e(舍去)，故应选 A. 1 5 2 1 5 2 答案：A 10用数学归纳法证明不等式的过程中，由 nk 到 1 n1 1 n2 1 nn 13 24 nk1 时，不等式左边的变化情况为( ) A增加 1 2k1 B增加 1 2k1 1 2k1 C增加，减少 1 k1k1 1 k1 D增加，减少 1 2k1 1 k1 解析：当 nk 时，不等式的左边，当 nk1 时，不等式的 1 k1 1 k2 1 kk 左边，所以( 1 k2 1 k3 1 k1k1 1 k2 1 k3 1 k1k1 1 k1 )，所以由 nk 到 nk1 时，不等式的左边增加 1 k2 1 kk 1 k1k1
8、1 k1 ，减少. 1 k1k1 1 k1 答案：C 11将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5,9,14,20，为“梯形数” 根据图形的构成， 此数列an的第 2 012 项与 5 的差，即 a2 0125( ) A2 0182 012 B2 0182 011 C1 0092 012 D1 0092 011 解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n1 时，a123 (23)2；n2 时，a2234 (24)3由此我们可以推 1 2 1 2 断：an23(n2) 2(n2)(n1) 1 2 a2 0125 2(2 0122)(2 0121)51 0082 0135
9、1 0092 011，故 1 2 选 D. 答案：D 12语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种若 A 同学每科 成绩不低于 B 同学，且至少有一科成绩比 B 高，则称“A 同学比 B 同学成绩好 ”现有若 干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学 成绩也一样的问满足条件的最多有多少学生( ) A2 B3 C4 D5 解析：假设 A、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他 们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好” ，与已知条 件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾因此，没有任
10、意两个同学数学成绩是相 同的同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的因为语文、数学两学科成绩各有 3 种， 因而同学数量最大为 3.即 3 位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格， 优秀)时满足条件 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上) 13已知 x，yR，且 xya2bab2. 证明：要证 a3b3a2b ab2成立， 即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立 又因 ab0， 故只需证 a2abb2ab 成立， 即需证 a22abb20 成立， 即需证(ab)20 成立 而依题设 ab，则(ab)20 显然成
11、立 由此命题得证 18(本小题满分 12 分)用综合法或分析法证明： (1)如果 a，b0，则 lg ； ab 2 lg alg b 2 (2)已知 m0，a，bR，求证： 2 . ( amb 1m) a2mb2 1m 证明：(1)当 a，b0 时，有， ab 2ab lglg，lg lg ab. ab 2ab ab 2 1 2 lg alg b 2 (2) m0，1m0.所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证 m(a22abb2)0， 即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax(a1)
12、x2 x1 (1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根 证明：(1)任取 x1、x2(1，)，不妨设 x10，ax2x11 且 ax10， ax2ax1ax1(ax2x11)0，又x110，x210， ， x22 x21 x12 x11 x22x11x12x21 x11x21 3x2x1 x11x21 于是 f(x2)f(x1)ax2ax10， x22 x21 x12 x11 故函数 f(x)在(1，)上为增函数 (2)设存在 x00(x01)满足 f(x0)0， 则 ax0，且 0ax01.01，即 x02，与假设 x00 矛盾 x02
13、x01 x02 x01 1 2 故方程 f(x)0 没有负数根 20(本小题满分 12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同 一个常数： sin213cos217sin 13cos 17； sin215cos215sin 15cos 15； sin218cos212sin 18cos 12； sin2(18)cos248sin(18)cos 48； sin2(25)cos255sin(25)cos 55. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 解析：(1)选择式，计算如下： sin21
14、5cos215sin 15cos 151 sin 301 . 1 2 1 4 3 4 (2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) . 3 4 证明如下： sin2cos2(30)sin cos(30) sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin ) sin2 cos2sin cos sin2sin cos sin2 sin2 cos2 . 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 4 3 4 3 4 21(本小题满分 13 分) 设数列 a1，a2，an，中的每一项都不为 0.证明an为等 差数列的充分必要条件是：对任何 nN*，都有. 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 n a1an1 证明：先证必要性 设数列an的公差为 d.若 d0，则所述等式显然成立
