《线形代数课件2.4向量组的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线形代数课件2.4向量组的秩（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,引例,结论,（1）.一个线性无关的向量组的极大无关组就是本身.,（2）.完全由零向量组成的向量组没有极大无关组.,（3）.任何一个向量组，只要含有非零向量，就一定有极大无关组.,一.向量组的极大无关组,定义 2.12 设有两个 Rn 中的向量组,I ： 1 , 2 , , s , 与,II ： 1 , 2 , , t .,如果向量组 I 的每一个向量都可以由向量组 II 线性表出，,则称向量组 I 可由向量组 II 线性表出；如果向量组 I 和向量组 II,可以互相线性表出，则称向量组 I 和 II 等价.,记作,等价向量组的性质,1) 反身性：每一个向量组都与它自身等价.,2) 对称性：如
2、果向量组 与 等价，,那么向量组 也与 等价.,传递性：如果向量组 与 等价,与 等价,那么向量组 与 也等价.,极大无关组的性质,定理 2.8 向量组和它的极大无关组等价.,推论 向量组的任意两个极大无关组之间等价.,因此在讨论向量组之间的一些关系时，可以用极大无关组来代替向量组,使问题的讨论更加方便和简化.,定理 2.9 如果向量组 可由向量组 线性表出，,并且 s t，则向量组 线性相关.,例 2 设 1 , 2 , 3 与 1 , 2 是 Rn 中的两个向量组，且已知,1 = 1 - 22 , 2 = -21 + 32 , 3 = 1 +,42 . 证明 1 , 2 , 3 线性相关.
3、,证明: 设 x11 + x22 + x33 = 0 .,由于 x11 + x22 + x33,= x1(1 - 22 ) + (-21 + 32) + x3(1 + 42 ),= (x1 - 2 x2 + x3)1 + (-2 x1 + 3 x2 + 4 x3)2,从而 1 , 2 , 3 线性相关.,由,可以得到以下推论：,推论 1 如果向量组 1 , 2 , , s 线性无关,并且可由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则 s t .,推论 2 两个等价的，并且都线性无关的向量组所含的向量个数相同.,推论 3 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同.,定义 2.13 向量
4、组1 , 2 , , s 的极大无关组所含的向量个数，,称为该向量组的秩，记作,r (1 , 2 , , s ) .,由零向量组成的向量组的秩为零.,一个线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身，故,向量组 1 , 2 , , s 线性无关的充要条,件是 r (1 , 2 , , s ) = s .,定理 2.10 如果,则有 r (1 , 2 , , s ) = r (1 , 2 , , t ) .,例 3 任意 n + 1 个n维向量一定线性相关.,二、向量组的秩与矩阵的秩的关系,设 A 为数域 F 上的一个 m n 矩阵,1. 矩阵行秩与列秩的定义,将 A 的每一行看作一个 n 维向
5、量(或将 A 按行分为 m块)，并记,1 = (a11 , a12 , , a1n) , 2 = (a21 , a22 , ,a2n) , , m = (am1 , am2 , , amn) ,为 A 的行向量组;,将 A 的每一列看作一个 m 维向量(或将 A 按列分为 n块)，并记,为 A 的列向量组.,定义 2.14 矩阵 A = ( aij )m n 的行向量组 1, 2, , m 的秩称为矩阵 A 的行秩；,A 的列向量组 1 ,例 4 求矩阵,行秩与列秩.,2 , , n 的秩称为矩阵 A 的列秩.,2. 矩阵行秩与列秩的关系,定理 2.11 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩.,定理
6、 2.12 矩阵的行秩与列秩相等且即为矩阵的秩.,例如，设有向量组,解:,于是向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组为1,2,且3 = -31 + 22 , 4 = 41 - 32 .,求它的一个极大无关组,并用极大无关组表示其余向量,求向量组 1 , 2 , , s 的极大无关组并用极大无关组表示其余向量的方法是：,1: 把向量组中的每一个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A ;,2: 对矩阵 A 进行行初等变换，并化为行最简形，记为 B ;,3: 在 B 中，每一个阶梯上的第一个非零元(一定为 1 )所在的列对应的向量,即为极大无关组,中的向量，其它不在极大无关组中的列中位于阶梯,线上方的元素，即为用极大无关组表示该列所对应,的向量的表示系数.,例 5 求下列各向量组的一个极大无关组，并,用极大无关组表示其余向量.,解,练习 求下列各向量组的一个极大无关组，并,用极大无关组表示其余向量.,
