线性代数教学课件作者第三版钱椿林电子教案第4章

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1、第4章 相似矩阵与 二次型,4.1 本章的教学要求,1. 了解相似矩阵、内积、正交矩阵的概念及其性质，了解矩阵对角化的充分必要条件。 2. 理解矩阵的特征值及特征向量的概念，掌握矩阵的特征值及特征向量的求法。 3. 会将实对称矩阵对角化，会将线性无关组正交规范化。 4. 理解二次型的概念，了解正交变换的概念，惯性定律，二次型的秩。,5. 会用矩阵表示二次型，掌握用配方法和 正交变换法化二次型为标准形的方法。 6. 了解二次型的正定性及其判别法。 重点：实对称矩阵对角化，线性无关向量 的正交规范化, 矩阵特征值及其特征向量的概 念和求法，用配方法和正交变换法化二次型为 标准形的方法。 难点：矩阵

2、特征值及其特征向量的概念， 用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方 法。,4.2 本章的主要内容,4.2.1 向量的内积 设有两个 n 维向量 ,记 ，则 称 为向量 与 的内积。 内积是向量的一种运算，如果用矩阵记号 表示，向量的内积还可写成,设 为n维向量， 为实数，则内积满足下列运算规律: 1 2 3,4.2.2 向量的长度 设 称 为n维向量 的长度（或范数）。 向量的长度具有下述性质： 1. 非负性：当 时， ，当 时， ； 2. 齐次性： 3. 三角不等式：,4.2.3 单位向量 当 时，称 为单位向量。,4.2.4 向量的单位化 对任何非零向量 称为向量 的单 位化。,4.2.

3、5 向量的正交 当 时，称向量 与 正交. 例如 向量 与向量 是正交的. 因为,4.2.6 正交向量组 若非零向量组 中的任意两个向量都是正交的，则称这个向量组为正交向量组。 正交向量组的性质定理： 定理1 正交向量组一定是线性无关的。 例如 n维单位向量 是正交向量组. 因为,4.2.7 正交规范向量组 若一个正交向量组的每个向量都是单位向量，则称它为正交规范向量组。,例 4.2.1 将 正交规范化. 解 取,然而将 单位化，取,则 即为所求.,例 4.2.2 已知 ，求非零向量 使 成为正交向量组. 解 所求的 应满足 即 基础解系为,，,将 正交化，取 即 为所求.,4.2.8 正交矩

4、阵 如果n阶方阵A满足， ，则称A为正交矩阵。 1. 正交矩阵具有以下性质： (1) E是正交矩阵； (2) 若A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵； (3) 若A是正交矩阵，则 也是正交矩阵； (4) 若A是正交矩阵，则 det A = 1或 - 1。,2. 正交矩阵的判定定理 定理2 方阵A为正交矩阵 A的每一行（列）向量都是单位向量，且两两正交。 定理3 n 阶实数方阵A是正交矩阵 。 定理4 n 阶实数方阵A是正交矩阵 。,例 4.2.3 判断下述矩阵是否是正交矩阵： （1） A 其中 为实数; （2） B,解 （1） AA 所以A是正交矩阵.,（2） BB = = E 所以B是

5、正交矩阵.,4.2.9 特征值与特征向量 设A为 n 阶方阵，若存在数 和 n 维非零列向量X，使得 AX = X 则称数 为矩阵A的特征值，称非零列向量X为矩阵A对应于特征值 的特征向量。,4.2.10 特征矩阵与特征多项式 设矩阵,则称矩阵 为A的特征矩阵，它的行列式 det ( E - A) 是关于 的一个n次多项式，称det ( E - A)为A的特征多项式。,1. 矩阵特征值和特征向量的存在定理 定理5 设A为 n 阶方阵，则数 为A的特征 值 是A的特征多项式det ( E -A)的根；n 维向量 是A对应于特征值 的特征向量 是齐次线性方程组（ E - A）X= O 的非零解。

6、2. 矩阵特征值和特征向量的性质定理 定理6 对称矩阵A的不同特征值的特征向量一定是正交的。 定理7 对称矩阵A的不同特征值的特征向量是线性无关的。,定理8 方阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。 定理9 实对称矩阵的特征值都是实数。,4.2.11 矩阵A的迹 矩阵A的主对角线元素之和, 称为A的迹，记 作tr(A)，即tr(A)= 。,4.2.12 相似矩阵 设A与B都是 n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得 B = P AP 则称A与B是相似的，记作A B。,相似矩阵具有如下性质： 1. 相似矩阵有相同的行列式。 2. 相似矩阵具有相同的可逆性；若可逆，它们的逆矩阵也相似。 3

7、. 相似矩阵具有相同的特征多项式。 4. 相似矩阵具有相同的特征值。 5. 相似矩阵有相同的迹。,4.2.13 方阵A可对角化 如果 n 阶方阵A能相似于对角矩阵，则称方阵A可对角化。 方阵A可对角化的定理：,定理10 n 阶方阵A可对角化 A有 n 个线性无关的特征向量 ，并且此时以它们为列向量组的矩阵P，就能使 为对角矩阵，而且此对角矩阵的主对角元依次是 对应的特征值是 。 定理11 若A是实对称矩阵，则一定可对角化，并且一定能够找到一个正交矩阵T，使得 为对角矩阵。,例 4.2.4 设 A = 求正交矩阵T，使T AT为对角矩阵. 解 由于A = A，故由定理知，一定可找 到正交矩阵T，

8、使得T AT为对角矩阵. 第1步 先求A的特征值，由,det(,EA) =,求得A的不同特征值为 （二重）， 第2步 对于 ，求解齐次线性方程组 （2EA）X = O，由,求得其一个基础解系为,2EA =,先正交化, 令,再单位化, 令 对于 ，求解齐次线性方程组 （7EA）X = O，由,7EA=,求得它的一个基础解系为,这里只有一个向量，只要单位化，得 第3步 以正交单位向量组为列向量组的矩 阵T，就是所求的正交矩阵，即 T=,有 T AT,4.2.14 n元二次型、二次型矩阵 含 n 个变量 的二次齐次多项式,其中 , 且 称 为 n 元二次型， 矩阵A称为二次型 的矩阵。,例如二次型

9、为要写成矩阵形式，把 这 些项分别改写成 即,其矩阵表示式为 或简单地就用对称矩阵 A = 来表示.,4.2.15 化二次型为标准形 如果二次型 通过满秩变换X = CY(C为n阶满秩方阵)，使得原二次型用 表示时，化为 ,简称此过程为化二次型为标准形。,4.2.16 正交变换 如果二次型 通过满秩变换X = CY, 使得原二次型化为标准形，且满秩方阵C是正交矩阵， 则称此变换为正交变换。,定理13 对于任何一个二次型 一定能找到一个正交矩阵T，使得经过正交变换 X = TY, 把它化为标准形 其中 是二次型 的矩阵A的全部特征值。,化二次型为标准形的定理： 定理12 任何一个二次型都可化为标

10、准型。即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得 成为对角矩阵。,例 4.2.5 化二次型 为标准形. 解 先将含 的各项配成一个关于 的完全平方项，即,再将含 的各项配成完全平方，即 令 即得,例 4.2.6 求一个正交变换X = TY，把二次型 化为标准形. 解 的矩阵是 A = A的特征多项式,det(,E - A) =,于是A的不同特征值为 (二重) 对于 (二重)，求解齐次线性方程 组（4E A）X = O，由 4E A = 求得一个基础解系为,先正交化, 令,再单位化，令 对于 ，求解齐次线性方程组 （ EA）X = O，由,-2EA=,求得它的一个基础解系为,再单位化，得 令

11、,T =,则T是正交矩阵，并且有 T AT = 于是，令X = TY，得,=,4.2.17 二次型 的秩 将二次型 的矩阵A的秩， 称为二次型 的秩。,4.2.18 正惯性指数与负惯性指数 在二次型 的标准形中，系数为正的平方项个数p称为 的正惯性指数；系数为负的平方项个数sp称为 的负惯性指数，其中s为 的秩。 惯性定理： 定理14 二次型 的任一标准形中，系数为正的平方项个数是惟一确定的， 它等于 的正惯性指数；而系数为负的平方项个数也是惟一确定的，它等于 的负惯性指数。,4.2.19 正定二次型 二次型 如果对任意一组不全为零的实数，都有 则称 为正定二次型。,4.2.20 正定矩阵 如

12、果二次型 是正定二次型, 对称矩阵A称为正定矩阵。,4.2.21 k阶主子式(kn) 在 n 阶方阵A中，取第 行及第 列（即行标与列标相同）所得到的 k 阶子式称为A的 k 阶主子式(kn)。,例如，设 A = 取第1，3行及第1，3列得到二阶子式 就是一个二阶主子式.,4.2.22 k阶顺序主子式 在 n 阶方阵A中取第 行及第 列得到的 k 阶子式（ kn ），称为A的 k 阶顺序主子式。,例如，上例中的A，1阶顺序主子式|2| = 2，二阶顺序主子式是 三阶顺序主子式是det A.,正定矩阵的判定定理： 定理15 n 元二次型 是正定的 全大于零。 定理16 满秩变换不改变二次型的正定

13、性。 定理17 n 元二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 n 。,定理18 n 元二次型 是正定的 它的矩阵A的特征值全大于零。 定理19 n 元二次型 是正定的 它的矩阵A的所有顺序主子式全大于 零。即对称矩阵A是正定矩阵 它的所有顺序主子式全大于零。,4.2.23 负定、半正定 与半负定的二次型 设 是二次型，对任一组不全为零实数 ，如果都有 ， 则称 是负定的；如果都有 ，则称 是半正定的；如果都有 , 称 是半负定的。,4.2.24 负定、半正定与半负定矩阵 如果对称矩阵A所对应的二次型 分别是负定的、半正定、半负定，则分别称对称矩阵A为负定的、半正定、半负定。,例 4.2.7 判别下列二次型的正定性： （1） （2） （3） 解（1） 的矩阵为 A =,因为 |3| = 3 0, 所以, 从定理知， 正定，即A也正定.,（2） 的矩阵为 A = 因为 |1| = 1 0, 所以, 从定理知，