《线性代数2015课件1.3行列式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数2015课件1.3行列式（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Linear Algebra,1.3 行列式,1.3.1 行列式的概念,1.3.2 行列式的性质,1.3.3 行列式的计算,用消元法解二元线性方程组,1.3.1 行列式的概念,一. 二阶行列式引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由方程组的系数矩阵,定义,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,练习,解,二、三阶行列式,定义,所对应的三阶行列式,定义为,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的
2、乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,强调（1）： 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,定义1.11,三. 排列和逆序数,定义1.12,排列的逆序数,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,四、 n阶行列式的定义,
3、我们知道三阶行列式定义为,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义1.13（ n阶行列式）,等于,取自不同行不同列的n个元素乘积,的代,数和，这里,是,的一个排列。,每一,项,中把行下标按自然顺序排列后，其符号,由列下标排列,的奇偶性决定。当,偶排列时取正号，当,是,是奇排列时取负号，,即,n阶行列式共由n!项组成； 要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积； 把构成这些乘积的元素的行下标
4、排成自然顺序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。,根据定义可知：,例 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例 计算上三角形行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例,同理可得下三角形行列式,例 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,例如,一. 行列式的展开定理,1.3.2 行列式的性质,叫做元素 的代数余子式,例如,结论 三阶行列式的值等于它的第
5、一行元素乘以各自的代数余子式再相加,下面我们观察一下三阶行列式的定义,行列式的展开定理,定理1.5,n行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和。,用定理1.5计算,练 习： 例1.10（书本）,当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！,二、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质1.6 行列式转置后，其值不变。,表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有,证明：,用数学归纳法,(1) n等于1，2时，显然成立.,(2) 设n-1时成立. 则,性质1.7 互换行列式的两行（列），行列式变号.,先考虑最简单的情形,再考虑一般的情形,经过 ？次相邻两行交换得
6、到,若i,j两行之间相隔s 行，问,2s+1次,推论 1.1：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0,交换后,性质1.8 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论1.3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,推论1.2 行列式中如果有一行（列）元素全为零，则此行列式为零,推论1.4 设A为n阶方阵，则,性质1.9 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。,性质1.1
7、1 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。,性质1.12,1.3.3 行列式的计算,总结行列式计算的方法：,例 计算上三角行列式,2：用行列式的展开定理,3：利用行列式的性质再结合展开定理,1：直接用定义,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解法1：,将行列式按照第n行展开（定理1.5,教材P21）,解法2：,计算行列式常用方法：利用消法变换把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,利用消法变换化行列式为三角形,例 计算n 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例 计算行列式.,解,范德蒙（Vandermonde）行列式,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;（2）直接用行列式的展开定理(3)利用性质把行列式化为上三角形行列式。,小结,行列式的7个性质,习题一 P40 1.12 (2)(3) 1,13 (2),作业,
